Considerando cómo la función compleja $f(z) = z^2$ actúa sobre líneas en el plano complejo.

Question

(a) Ajuste $w=f(z)$ y dejando $z=x+iy$ y $w=u+iv$ encuentra $u$ y $v$ como funciones de $x$ y $y$ .

(b) Halla la imagen de las líneas horizontales $y=y_0$ donde $y_0 \ne 0$ , bajo $f(z) = z^2$ . Deberías conseguir una parábola familiar. ¿Cuál es la imagen en el caso especial de $x_0 = 0$ ?

(c) Halla la imagen de las líneas verticales $x=x_0$ donde $x_0 \ne 0$ , bajo $f(z) = z^2$ . Deberías conseguir una parábola familiar. ¿Cuál es la imagen en el caso especial de $x_0 = 0)$ ?

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Para la parte (a) estoy bastante seguro de utilizar la ecuación de Cauchy-Riemann.

Para las partes (b) y (c) obtengo gráficos parecidos a este (he intentado encontrar una imagen lo más parecida posible, así que ignora las etiquetas).

Pero me cuesta mucho traducir mi proceso a una forma matemática adecuada. Agradecería cualquier orientación.

Answer 1

No creo que usted realmente necesita C-R para un) ..

Le interesa $Re(w)$ y $Im(w)$ Así que $w=(x+iy)^2 = x^2+2xyi-y^2$ Por lo tanto $u = Re(w) = x^2-y^2$ y $v= Im(w) = 2xy$ . Esto le dice que el punto $[x,y]$ se asigna al punto $[x^2-y^2, 2xy]$ .

Para b) utilizando lo anterior y considerando $y=y_0$ una constante se obtiene el lugar $[x^2-y_0^2, 2xy_0]$ y sustituyendo $\overline{y} := 2xy_0$ (pensando en coordenadas geométricas $\overline{x},\overline{y}$ ), Se obtiene el locus descrito como $[\frac{\overline{y}^2}{4y^2_0}-y_0^2, \overline{y}]$ por lo tanto una parábola $\overline{x} = \frac{\overline{y}^2}{4y^2_0}-y_0^2$ ( $y_0$ es una constante real).

Para $y_0 = 0$ Usted tiene el lugar de los puntos $[x^2,0]$ para $x\in \mathbb{R}$ que es el positivo $x$ -semiaxis.

c) es similar