¿Cuántos triángulos se pueden formar a partir de los vértices de un polígono de $n$ lados si el triángulo y el polígono pueden no compartir lados?

Question

Nota: no es un duplicado de esta pregunta ya que me gustaría saber qué falla en mi planteamiento.

Mi intento: Elija 3 de los $n$ vértices del polígono, y que el número de puntos entre los tres sea $x$ , $y$ y $z$ . Entonces, $x+y+z=n-3$ y $x, y, z\ge 1$ . El número de soluciones posibles es un problema de palo y estrella, y puede demostrarse que es $n-4 \choose 2$ . Sin embargo, a partir de la respuesta superior a la pregunta enlazada anteriormente, la respuesta correcta es $\binom{n}{3}-(n-4)n-n$ .

Introduciendo algunos valores para $n$ veo que no cuento lo suficiente. ¿Cómo?

Answer 1

Tu planteamiento es casi correcto, sólo tienes que retocarlo porque sólo estás determinando el espaciado entre los vértices, pero no los vértices en concreto.

Por ejemplo, si $n=10$ entonces la solución $3 + 2 + 3$ significa que has elegido 3 vértices espaciados por $3,2$ y $3$ pero en concreto no sabemos cuáles son. (Básicamente hay que elegir uno de los vértices, porque entonces los demás quedarán fijos).

De hecho, si multiplicas tu resultado por $n/3$ verás que obtienes el resultado correcto:

$$\frac n3\binom{n-4}2 = \frac{n(n-4)(n-5)}{6} = \binom n3-(n-4)n-n.$$

Answer 2

1. ¿Cómo está configurando la biyección?

IE Decir $n = 10$ y elegimos los vértices 2, 4, 6. ¿Qué significa $x, y, z$ ¿Corresponden?

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Lo que buscas es algo parecido a

• Fijar un vértice del triángulo, que sea el vértice 1. Hay $n$ posibilidades.
• Sea $x \geq 2 $ corresponden a la diferencia entre el índice del segundo vértice y el vértice 1.
• Sea $y \geq 2$ corresponden a la diferencia del índice del tercer y segundo vértice.
• Sea $z \geq 1$ corresponden a la diferencia entre $n$ y el índice del tercer vértice
• Tenemos $x+y+z = n-1$ y $(x-1) + (y-1) + z = n-3$ como soluciones enteras positivas. Por lo tanto, existen ${n-4 \choose 2 }$ posibilidades.

Por lo tanto, hay $ n \times { n - 4 \choose 2 } $ posibilidades, pero hemos contado 3 veces, así que es $ \frac{ n (n-4)(n-5) } { 6}$ .