Derivación de la inversa de la matriz de Hilbert

Question

La matriz de Hilbert es la matriz cuadrada dada por

$$H_{ij}=\frac{1}{i+j-1}$$

Wikipedia afirma que su inversa viene dada por

$$(H^{-1})_{ij} = (-1)^{i+j}(i+j-1) {{n+i-1}\choose{n-j}}{{n+j-1}\choose{n-i}}{{i+j-2}\choose{i-1}}^2$$

De ello se deduce que las entradas de la matriz inversa son todas números enteros.

Me preguntaba si hay alguna forma de demostrar que su inversa es una matriz entera sin utilizar la fórmula anterior.

¿Cómo se puede demostrar la fórmula explícita de la inversa? Wikipedia me remite a un artículo de Choi, pero sólo incluye un breve esbozo de la demostración.

Answer 1

No tengo ningún contenido nuevo que añadir, pero me he dado cuenta de algo de contexto:

Una "red" en un espacio vectorial real $V$ es el ${\mathbb Z}$ -span of an ${\mathbb R}$ -base de $V$ . Cualquier pedido ${\mathbb R}$ -base cuyo ${\mathbb Z}$ -span es la red $L$ se dice que es una "base ordenada" de $L$ .

Sea $L$ sea una red en un espacio de producto interior real $V$ . (El producto interior es, por definición, simétrico, bilineal y definido positivo). La "red dual" de $L$ en $V$ se compone de los vectores $v\in V$ tal que, para todo $w\in L$ tenemos: $\langle v,w\rangle\in{\mathbb Z}$ . El dual de $L$ se denominará $L^*$ .

Sea $B$ sea una base ordenada en un espacio de producto interior real $V$ . Entonces la "matriz Gramiana" de $B$ es la matriz cuyo $i,j$ -la entrada es $\langle B_i,B_j\rangle$ .

Una matriz es "integral" si todas sus entradas son números enteros.

Lemma: Sea $B$ sea una base ordenada de una red $L$ en un espacio de producto interior real. Entonces: $L^*\subseteq L$ si la inversa de la matriz de Gram de $B$ es integral.

La demostración de este lema no es difícil.

Fijemos ahora un número entero positivo $d$ y que $V$ sea el espacio producto interior real formado por polinomios reales ${\mathbb R}\to{\mathbb R}$ de grado $<d$ con producto interior dado por: $\langle P,Q\rangle=\int_0^1 PQ$ .

Sea $M$ sea la red en $V$ formado por todos los polinomios en $V$ que tienen coeficientes enteros.

Sea ${\bf1}$ denotan la función constante ${\mathbb R}\to{\mathbb R}$ con valor $1$ . Sea ${\bf x}:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ denota la función de identidad. Sea $B:=({\bf1},{\bf x},{\bf x}^2,...,{\bf x}^{d-1})$ una base ordenada de $M$ .

La matriz Gramiana de $B$ es la Hilbert $d\times d$ por lo que, por el Lemma, queremos demostrar que $M^*\subseteq M$ .

Sea $A:=(\tilde P_0,...\tilde P_{d-1})$ la lista ordenada de los $0$ a través de $(d-1)$ polinomios de Legendre desplazados. Se trata de una base ordenada de $V$ . Sea $L$ sea el ${\mathbb Z}$ -span of $A$ . En $L$ es una red en $V$ .

Dado que los polinomios de Legendre desplazados tienen coeficientes enteros, $L\subseteq M$ . De ello se deduce que $L^*\supseteq M^*$ .

La matriz de Gram de $A$ es diagonal, con cada entrada diagonal en el conjunto $\{1,1/2,1/3,1/4,\dots\}$ . Entonces, por el lema $L^*\subseteq L$ .

Entonces $M^*\subseteq L^*\subseteq L\subseteq M$ . QED