Digamos que tenemos alguna simétrica positiva definida $n\times n$ matriz $M$ con $n$ valores propios distintos $\{\lambda_1,...,\lambda_n\}$ . ¿Existe una fórmula general para el ángulo máximo $\theta$ para lo cual $M$ puede rotar algún vector, en términos de invariantes matriciales?
He calculado el $2\times 2$ caso y la respuesta es $$\theta=\text{arccos}\Big(2\sqrt{\frac{\text{det}M}{(\text{tr}M)^2}}\Big)$$
En general, la respuesta es $$\theta=\text{arccos}\Bigg(\min_{v\neq0}\frac{v^TMv}{||v||\cdot||Mv||}\Bigg)$$
Sin embargo me gustaría encontrar una respuesta análoga a la $2\times 2$ caso del general $n\times n$ caso.
Al intentar averiguar el $3\times 3$ caso, el procedimiento de minimización se complicaba enormemente. Lo mejor que pude hacer fue el caso en el que dos de los valores propios son iguales $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_2$ . En ese caso, el ángulo resulta ser el mismo que se calcularía para un $2\times 2$ matriz con los mismos valores propios $\lambda_1,\lambda_2$ .
De hecho, tras un análisis más detallado, debería ser cierto que para un $n\times n$ matriz con $k$ valores propios distintos, la fórmula para $\theta$ es igual a la que obtendría de un $k\times k$ con los valores propios correspondientes.
Edita: Utilizando el hecho anterior, mi conjetura para el $3\times 3$ caso con $3$ valores propios distintos es $$\theta=\text{arccos}\Bigg(2\sqrt{\frac{6\text{det}M}{(\text{tr}M)^3-\text{tr}M^3}}\Bigg)$$
Y mi conjetura para el $4\times4$ caso es $$\theta=\text{arccos}\Bigg(2\sqrt{\frac{48\text{det}M}{(\text{tr}M)^4-3(\text{tr}M^2)^2-4\text{tr}M\text{tr}M^3+6\text{tr}M^4}}\Bigg)$$
Técnicamente existen $6$ posibles soluciones al $3\times3$ sin embargo es la única solución con coeficientes racionales en las trazas. La dirección $4\times4$ es también la única solución cuyos coeficientes son racionales.
En general, para un $n\times n$ matriz hay como máximo $\prod_{k=3}^{n}2\times p(k)$ posibles soluciones basadas en el enunciado justo encima de la edición. En $p(k)$ es la función de partición.
Estas conjeturas se basan en la suposición de que se puede escribir la solución como un cociente de combinaciones lineales de trazas de potencia, para las que la potencia de cada término se suma a $n$ . Según la respuesta de Carlo Beenakker, se trata de una suposición incorrecta.
