Dominio de $\sqrt{x}$ al resolver $x^2 - 2=0$

Question

He estado dándole vueltas a esta solución y me he atascado a la hora de explicarme por qué $x^2 = 2 \Rightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{2}\Rightarrow x = \pm \sqrt2$ . Dominio de $f(x)=\sqrt{x}$ es $[0,\infty)$ . Cómo sacar la raíz cuadrada de ambos lados da $\pm \sqrt{2}$ ?

Answer 1

¿Qué es exactamente lo que no le queda claro?

En general $\sqrt{x^2} = |x|$

Así que su ecuación equivale a $|x| = \sqrt{2}$
Y a partir de esa última ecuación se encuentran las dos raíces
$x=-\sqrt{2}$ y $x=\sqrt{2}$

Answer 2

Creo que quien escribió el texto se refería a la identidad de valor real $\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert$ Por lo tanto $\sqrt{x^2}=\sqrt2\Leftrightarrow \lvert x\rvert=\sqrt2\Leftrightarrow x=\sqrt2\lor x=-\sqrt2.$

Personalmente, soy un poco fan de $$x^2-2=0\Leftrightarrow (x+\sqrt2)(x-\sqrt2)=0\Leftrightarrow x-\sqrt2=0\lor x+\sqrt2=0.$$

Answer 3

Aquí entran en juego dos conceptos distintos. $\sqrt{x}$ es un función que denota la raíz cuadrada no negativa de $x$ . Sin embargo, la solución general de $a^2 = b^2$ es $a = \pm b$ . Así que $\sqrt{25}=5$ pero si $x^2=25$ entonces $x=\pm5$ . Como Gae. S. ya ha mencionado, la forma más fácil de ver que $a^2=b^2 \iff a= \pm b$ es a través de la factorización: \begin{align} &a^2=b^2 \\ \iff&a^2-b^2=0 \\ \iff&(a+b)(a-b)=0 \\ \iff&a=-b \text{ or } a=b \, . \end{align} Así, en su ejemplo, tenemos $x^2=(\sqrt{2})^2 \iff x=\pm\sqrt{2}$ .