Prueba de $\sup\{ (n!)^{(\frac{1}{n})}| n ∈ N\} = +∞?$

Question

¿Cómo puedo demostrar si $\sup\{ (n!)^{1/n} | n \in\Bbb N\} = +\infty$ ?

No sé cómo explicarlo correctamente.

Answer 1

Sugerencia: supongamos por simplicidad que $n$ es par. Entonces $$n! = 1 \cdot 2 \cdots \frac{n}{2} \cdot \left(\frac{n}{2}+1\right) \cdots n \ge \left(\frac{n}{2}+1\right) \cdots n > \left(\frac{n}{2}\right)^{n/2}.$$ ¿Qué puede concluir sobre $(n!)^{1/n}$ ?

Answer 2

Para $k=1,2...n$ tenemos que $(k-1)(n-k) \geq 0.$

Así $(n-k+1)k \geq n$

$$n \cdot 1 \geq n$$ $$(n-1) \cdot 2 \geq n$$ $$(n-2) \cdot 3 \geq n$$ $$.$$ $$.$$ $$.$$ $$.$$ $$.$$ $$2 \cdot (n-1) \geq n$$ $$1 \cdot n \geq n$$

Multiplicando todas las desigualdades tenemos que $(n!)^2 \geq n^n$

Continúa desde aquí..

Answer 3

En $(1+1/n)^n$ siendo una secuencia creciente acotada con límite tradicionalmente llamada $e$ , se puede demostrar por inducción que $n! > (n/e)^n$ para que $(n!)^{1/n} > n/e$ .

En realidad, $\lim_{n\to\infty} \dfrac{(n!)^{1/n}}{n} =\dfrac1{e} $ .