Anillos y módulos noetherianos

Question

Un anillo es noetheriano de izquierda si todo ideal de izquierda de R está finitamente generado. Supongamos que R es un anillo noetheriano de izquierda y M es un módulo R finitamente generado. Demostrar que M es un módulo R noetheriano.

Estoy pensando que queremos proceder por contradicción y tratar de producir un ideal generado infinitamente, pero estoy teniendo problemas para llegar a lo que tal ideal se verá así.

Answer 1

Si $\{x_i\mid 1\leq i\leq n\}$ es un conjunto de generadores para $M$ entonces el mapa obvio $\phi$ de $R^n$ a $M$ es una suryección. Dado que $R^n$ es un módulo izquierdo noetheriano, también lo es $R^n/\ker(\phi)\cong M$ .

Answer 2

Sea $N$ ser un $A$ -submódulo de $M$ . Basta con demostrar que $N$ está finitamente generada. Demostramos esto por inducción en el número de generadores de $M$ . Supongamos que $M = Ax_1 + \cdots + Ax_n$ . Si $n = 1$ , $M$ es isomorfo a $A/I$ donde $I$ es un ideal izquierdo de $A$ . Por lo tanto $N$ está finitamente generada. Supongamos que $n > 1$ . Sea $L = Ax_1 + \cdots + Ax_{n-1}$ . Existe la siguiente secuencia exacta

$$0 \rightarrow N \cap L \rightarrow N \rightarrow M/L.$$

Por la hipótesis de inducción, $N \cap L$ está finitamente generada. Dado que $M/L$ se genera por la imagen de $x_n$ la imagen de $N \rightarrow M/L$ está finitamente generada. Por lo tanto $N$ está finitamente generada por el siguiente lema.

Lema Sea $A$ sea un anillo. Sea $M$ ser un $A$ -módulo. Sea $N$ ser un $A$ -submódulo de $M$ . Supongamos que $N$ y $M/N$ están finitamente generados. Entonces $M$ también está finitamente generada.

Prueba: Supongamos $N$ es generado por $x_1,\dots,x_n$ y $M/N$ es generado por $y_1$ mod $N,\dots,y_m$ mod $N$ . Sea $x \in M$ . Entonces existe $b_1,\dots,b_m \in A$ tal que $x \equiv b_1y_1 + \cdots + b_my_m$ (mod $N$ ). Por lo tanto, existen $a_1,\dots,a_n \in A$ tal que $x - (b_1y_1 + \cdots + b_my_m) = a_1x_1 + \cdots + a_nx_n$ . Por lo tanto $M$ es generado por $x_1,\dots,x_n, y_1,\dots,y_m$ . QED