Esta pregunta solicita tu intuición y perspicacia, ya que me sorprende lo poco que se sabe sobre la diferencia entre curvatura no negativa y positiva. No quiero ser completamente vago, así que podría preguntar: ¿Cuáles son las dificultades y los caminos actualmente bloqueados para resolver la Conjetura de Hopf? (¿Tiene $S^2\times S^2$ soportar una métrica de curvatura positiva?). Pero en general, me gustaría saber lo que otros puedan saber sobre por qué es difícil determinar si un espacio cerrado simplemente conectado dado de curvatura no negativa puede admitir también curvatura positiva. Que yo sepa, no hay obstáculos, ¿cómo es eso? La cantidad de ejemplos de curvatura no negativa comparada con la de ejemplos de curvatura positiva parece sugerir que debería haber algo que distinguiera a ambos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Yau preguntó en 1982 si hay cualquier Una variedad compacta simplemente conexa con curvatura no negativa para la que se puede demostrar que no admite una métrica de curvatura positiva. Esta cuestión abre su lista de problemas sin resolver en geometría (véase "Seminario sobre Geometría Diferencial" , p. 670.)
Permítanme citar "Una visión panorámica de la geometría de Riemann " de Berger (Springer 2003, p. 579):
No es de extrañar que muchas personas intentaran responder al comentario de Yau, empezando por con la conjetura de Hopf sobre $S^2 × S^2$ intentando deformar dicha métrica con $K ≥ 0$ en uno con $K >0$ . Esto significa considerar algún parámetro familia $g(t)$ de métricas y calcular las distintas derivadas en $t = 0$ del curvatura seccional. Técnicamente es muy fácil calcular dicha derivada para un plano tangente dado, pero lo difícil es encontrar una variación para la que todas las derivadas sean positivas. Hoy en día este enfoque sigue sin funcionar.
Una dificultad importante es que no está claro cómo encontrar el conjunto crítico de la curvatura seccional (como función en el conjunto de planos tangentes).
El corto anterior encuesta de Bourguignon contiene un análisis de las razones por las que fracasan algunos planteamientos aparentemente naturales.
