La acción libre sobre el espacio implica que cada punto tiene una vecindad que tiene una intersección vacía con las traslaciones

Question

Supongamos que $G$ es un grupo topológico, $X$ un espacio topológico y $G \times X \rightarrow X$ acción de grupo que es continua. Además, supongamos que la acción es libre ( $G_x = \{e\}$ para todos $x$ ).

Lo que quiero demostrar es lo siguiente: $$\forall x \in X. \exists U_x. \forall g, g' \in G. g \neq g' \Rightarrow g\cdot U_x \cap g' \cdot U_x = \emptyset$$

Pero no estoy del todo seguro, si esto es cierto. (La inversa sin embargo, es)

Answer 1

Esta afirmación es equivalente a la afirmación $\forall x \in X. \exists U_x. \forall g \in G. g \neq e \Rightarrow g\cdot U_x \cap \cdot U_x = \emptyset$ traduciendo su definición por $g^{-1}$ .

Sea $X = \mathbb{R}$ y $G = (\mathbb R, +)$ sea el grupo aditivo que actúa sobre $X$ por traducción. Se trata claramente de una acción libre. Ahora para $x= 0\in X$ necesitaría un intervalo $0\in (-\epsilon, \epsilon)$ tal que $\frac{1}{n}\notin (-\epsilon, \epsilon)$ para todos $n$ ya que $\frac{1}{n}=\frac{1}{n}+0 \in \frac{1}{n}+(-\epsilon, \epsilon)$ lo cual es imposible.

Por lo tanto, su afirmación no se sostiene.