¿Están los números de clase codificados en el grupo de Galois absoluto de ${\mathbb Q}$ ?

Question

El grupo de Galois absoluto $G_{\mathbb Q}=\text{Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ como grupo profinito, codifica muchas cosas: toda la red de campos numéricos (subgrupos cerrados de índice finito), extensiones de Galois (subgrupos normales), extensiones abelianas, etc. ¿Es posible reconocer unramified ¿extensiones abelianas a partir de los datos de la teoría de grupos? Entonces,

Preguntas: Dado un subgrupo cerrado $H\subset G_{\mathbb Q}$ de índice finito, ¿existe una forma explícita en teoría de grupos de recuperar el grupo de clase o el número de clase del campo fijo $K=\overline{\mathbb Q}^H$ ?

(Porque todos los automorfismos continuos de $G_{\mathbb Q}$ son interiores, en teoría $K$ puede recuperarse de $H$ y su grupo de clase computado, pero esto no es lo que me gustaría llamar "teórico de grupos" o "explícito").

Answer 1

Querido Tim,

Como probablemente sabrá, esto forma parte del etcétera "anabeliano".

Basta con recuperar todos los subgrupos intertia $I_v\subset H$ porque su unión será entonces un subgrupo normal $N$ tal que $H/N$ es el grupo de Galois de la extensión máxima de $K$ unramified everywhere. Podemos obtener el grupo de clase ideal por abelianización (topológica). El hecho de que podamos obtener todos los grupos de descomposición $D_v\subset G$ es el teorema de Neukirch (junto con Artin-Schreier en el infinito). Esto dice que los subgrupos máximos isomorfos a un grupo de Galois local son exactamente los grupos de descomposición. Si se quiere hacer esto puramente teórico de grupos para los lugares finitos, se invoca el teorema de Jannsen-Wingberg que establece una presentación para todos los grupos locales de Galois y se consideran elementos maximales en la red de subgrupos isomorfos a dicha presentación explícita. Una vez obtenida la $D_v$ existe una receta teórica de grupos estándar para $I_v$ que se me escapa por el momento. Pero me pondré en contacto con usted con él, si no lo resuelve en el ínterin.

Añadido:

Bien, esta es la parte fácil. Ahora dejemos que $F$ sea una extensión finita de $\mathbb{Q}_p$ et $D=Gal(\bar{F}/F)$ . Sabemos que $D^{ab}$ encaja en una secuencia exacta $$0\rightarrow U_F\rightarrow D^{ab}\rightarrow \hat{\mathbb{Z}}\rightarrow 0,$$ así nos recuperamos $p$ como el único primo tal que la topología $\mathbb{Z}_p$ -rango de $D^{ab}$ est $r_D\geq 2$ . La orden $q_D$ del campo de residuos es 1 mayor que el orden de del primo a $p$ subgrupo de torsión de $D^{ab}$ . Además, sabemos $r_D=1+[F:\mathbb{Q}_p]$ . Ahora aplicamos el mismo razonamiento a los subgrupos de índice finito en $D$ para averiguar las que corresponden a extensiones no ramificadas. Es decir, considerar los subgrupos $E$ de índice finito tal que $q^{r_D-1}_E=q_D^{r_E-1}$ . Entonces el subgrupo de inercia de $D$ es la intersección de todas ellas.