Intento deducir algunas ecuaciones que me permitan simular el movimiento de una nave espacial en diferentes geometrías del espaciotiempo. Supongamos que conozco la métrica y los símbolos de Christoffel en el lugar en el que se encuentra la nave espacial, y conozco la fuerza que se aplica sobre ella (por ejemplo, la nave espacial está encendiendo sus propulsores). ¿Cómo puedo calcular su aceleración de coordenadas a partir de esta información?
Lo que he probado hasta ahora:
Según tengo entendido, lo más natural es calcular, a partir de la fuerza proporcionada por los propulsores, la aceleración propia de la nave espacial. Entonces la página de wikipedia para aceleración adecuada da la siguiente ecuación que relaciona la aceleración propia con la aceleración por coordenadas:
$$ A^{\lambda} := \frac{DU^{\lambda}}{d\tau} = \frac{dU^{\lambda}}{d\tau} + \Gamma^{\lambda}\,_{\mu\nu}\,U^{\mu}U^{\nu} $$
Se puede reordenar la ecuación (siguiendo la página de Wikipedia) de la siguiente manera
$$ \frac{dU^{\lambda}}{d\tau} = A^{\lambda} - \Gamma^{\lambda}\,_{\mu\nu}\,U^{\mu}U^{\nu} $$
El término de la derecha puede evaluarse simplemente expandiendo la suma y poniendo los símbolos de Christoffel para el espaciotiempo alrededor del agujero negro (que puedo encontrar en una referencia ). Hasta ahora todo parece tener sentido.
Sin embargo, encontrar $A^{\lambda}$ de la fuerza proporcionada por los propulsores es algo que no puedo entender. Wikipedia dice esto acerca de la aceleración adecuada:
... es el vector 3 de aceleración propia del objeto combinado con un componente de tiempo nulo visto desde el punto de vista de un sistema de coordenadas de referencia o contable en el que el objeto está en reposo.
De esto entiendo que
$$ (A^{x}, A^{y}, A^{z}) = \mathrm{\frac{(vector\; force\; provided\; by\; thrusters)}{(mass\; of\; spaceship)}} $$
en el marco de referencia de la nave espacial o en un marco de referencia estacionario que se mueve instantáneamente como la nave espacial en un momento dado (no sé cuál).
La parte del componente de tiempo nulo me confunde completamente.
Por lo que entiendo del artículo de la wikipedia, la aceleración propia también es igual a la derivada covariante de la velocidad de coordenadas. Sin embargo, no sé mucho de geometría diferencial y la derivada covariante no tiene ningún sentido para mí.
Preguntas:
- ¿Cómo pasar de la fuerza proporcionada por los propulsores (como un 3-vector clásico) a la aceleración propia como un 4-vector?
- ¿Es correcto decir que las tres componentes espaciales de la aceleración propia de 4 vectores son iguales a la aceleración resultante en el marco de la nave espacial? En caso negativo, ¿cómo se definen?
- ¿Cuál es el componente temporal $A^{t}$ ¿a qué equivale y cómo se puede calcular?
