Demuestre que la diferencia simétrica es $A \Delta B = (A \cup B)$ \ $(A\cap B)$

Question

Quiero demostrar con símbolos lógicos que la diferencia simétrica es
$A \Delta B = (A \cup B)$ \ $(A\cap B)$

Lo intenté como:

$(x \in A) \land (x\notin B) \lor (x \notin A) \land (x\in B)$

Sin embargo, ¿cómo llegar a la conclusión de que $A \Delta B = (A \cup B)$ \ $(A\cap B)$ ?

Le agradezco su respuesta.

Answer 1

Podemos demostrar la igualdad de conjuntos utilizando, en el siguiente orden:

• el Ley distributiva dos veces,
• el Ley del término medio excluido ( $P \lor \lnot P = T$ ),
• identidad de la conjunción $(T \land P \equiv P \land T \equiv T)$
• DeMorgan's

$$\begin{align} & x\in (A \Delta B) \iff \Big[(x \in A) \land (x\notin B)\Big] \lor \Big[(x \notin A) \land (x\in B)\Big]\\ \\ & \iff \Big[x \in A \lor (x \notin A \land x \in B)\Big] \land \Big[x\notin B \lor (x\notin A \land x\in B)\Big]\\ \\ & \iff (x \in A \lor x \notin A) \land (x\in A \lor x \in B) \land (x \notin B \lor x\notin A) \land (x \notin B \lor x\in B) \\ \\ &\iff T \land (x \in a \lor x \in B) \land (x \notin A \lor x \notin B) \land T \\ \\ & \iff (x \in A \lor x \in B) \land (x\notin A \lor x \notin B) \\ \\ & \iff (x \in A \cup B) \land \lnot (x \in A \land x\in B) \\ \\ & \iff \Big[x \in (A\cup B)\Big] \land \Big[x\notin (A\cap B)\Big] \\ \\ & \iff x \in \Big[(A\cup B)\setminus(A \cap B)\Big] \end{align} $$

Answer 2

$$\begin{array}{ll} (A\setminus B)\cup (B\setminus A)&=\left\{x\mid (x\in A\land x\not\in B)\lor (x \not\in A \land x \in B)\right\}\\ &=\left\{x\mid (x\in A\lor x \not\in A) \land (x\in A\lor x \in B) \land (x\not\in B\lor x \not\in A) \land (x\not\in B\lor x \in B)\right\}\\ &=\left\{x\mid (x\in A\lor x \in B) \land (x\not\in B\lor x \not\in A) \right\}\\ &=\left\{x\mid (x\in A\lor x \in B) \land \lnot(x\in B\land x \in A) \right\}\\ (A\setminus B)\cup (B\setminus A) &= (A\cup B) \setminus (A\cap B) \end{array}$$

Answer 3

$(A \setminus B) ∪ (B \setminus A) = (A ∩ B') ∪ (B ∩ A') = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A') ∩ (B' ∪ B) ∩ (B' ∪ A') = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)' = (A ∪ B) \setminus (A ∩ B)$ .

Dónde $X'$ es el complemento de $X$ (en algún universo implícito, por ejemplo, la clase universal).

Answer 4

Aquí hay otra respuesta que puede añadir algo más de conocimiento, separando la parte de teoría de conjuntos de la parte lógica.

$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\Tag}[1]{\text{(#1)}} \newcommand{\true}{\text{true}} $ Utilizando la definición tradicional de $\;\Delta\;$ el enunciado original puede reescribirse como sigue:

$$\calc \tag 0 A \Delta B \;=\; (A \cup B) \setminus (A \cap B) \calcop\equiv{set extensionality} \langle \forall x :: x \in A \Delta B \;\equiv\; x \in (A \cup B) \setminus (A \cap B) \rangle \calcop\equiv{definitions of $ \ delta, setminus, cup, cap..; $} \langle \forall x :: (x \in A \land x \not\in B) \lor (x \not\in A \land x \in B) \\&\phantom{\langle \forall x ::} \;\equiv\; (x \in A \lor x \in B) \land \lnot (x \in A \land x \in B) \rangle \calcop\equiv{logic: DeMorgan} \tag 1 \langle \forall x :: (x \in A \land x \not\in B) \lor (x \not\in A \land x \in B) \\&\phantom{\langle \forall x ::} \;\equiv\; (x \in A \lor x \in B) \land (x \not\in A \lor x \not\in B) \rangle \endcalc$$

Ahora vemos la forma esencial de la última línea: $$ \tag 2 (P \land \lnot Q) \lor (\lnot P \land Q) \;\equiv\; (P \lor Q) \land (\lnot P \lor \lnot Q) $$

Esta ley de la lógica puede demostrarse esencialmente de la misma manera amWhy lo hizo: $$\calc (P \land \lnot Q) \lor (\lnot P \land Q) \calcop\equiv{$ \;\lor\\; $ distributes over $ \;\land\; $, three times} (P \lor \lnot P) \land (P \lor Q) \land (\lnot Q \lor \lnot P) \land (\lnot Q \lor Q) \calcop\equiv{simplify the first and last conjuncts} \true \land (P \lor Q) \land (\lnot Q \lor \lnot P) \land \true \calcop\equiv{simplify and reorder} (P \lor Q) \land (\lnot P \lor \lnot Q) \endcalc$$

Esto demuestra $\Tag 2$ y, por lo tanto $\Tag 1$ y, por lo tanto $\Tag 0$ .