demostrar que la suma de los productos escalares de un lado y su mediana en un triángulo es 0

Question

$\vec {AP}, \vec {BQ}$ y $\vec {CR}$ son medianas en el triángulo $ABC$ .
Demuéstralo: $\vec {AB} \cdot \vec {CR} + \vec {BC} \cdot \vec {AP} + \vec {CA} \cdot \vec{BQ}=0$

Intenté lo siguiente, pero no pude llegar a ninguna parte desde aquí:
ampliando los productos escalares mediante $\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|cos(\theta)$
utilizando el hecho de que una mediana divide el segmento en dos partes iguales
utilizando el hecho de que las tres medianas de un triángulo se encuentran en un único punto que divide cada mediana en un $2:1$ proporción

Answer 1

Pista: $$\vec{CR}=\frac{\vec{CA}+\vec{CB}}{2},~\vec{AP}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2},~\vec{BQ}=\frac{\vec{BA}+\vec{BC}}{2}$$

Enchufar en el LHS para sustituir $\vec{CR},~\vec{AP},~\vec{BQ}$ y simplificar. Fíjate, por ejemplo: $\vec{AB}=-\vec{BA}$