Ten paciencia conmigo:
Para $k \ge 1; b\ge 2$ $(b - 1)^k \le b^k + (-1)^k$ . Pf: inducción: Para $k =1$ entonces $(b-1)^1 = b^1 + (-1)^1$ . Para $k = 2$ entonces $(b-1)^2 = b^2 -2b +1 < b^2 + 1$ . Si $(b -1)^n \le b^n + (-1)^n$ entonces $$(b-1)^{n+1} = (b-1)^n(b-1) \le (b^n + (-1)^n)(b-1) = b^{n+1} + (-1)^nb - b^n +(-1)^{n+1} = b^{n+1} + (-1)^{n+1} - b(b^{n-1} + (-1)^n) \ge b^{n+1} + (-1)^{n+1}$$ . Con igualdad sólo si $k = 1$ . Pero para $k = 0 ; (b-1)^0 = 1 > 0 = b^0 - 1^0$ .
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Sea $n = \sum_{i=0}^k a_i b^k$ ser un $k+1$ número de dígitos y $S = \sum_{i=0}^k a_i$
$n - S = \sum_{i=0}^k a_i (b^k - 1) \ge \sum_{i=1}^k a_i (b - 1)^k$ .
(debemos podemos/debemos indexar desde $1$ en el lado derecho porque $a_0*(b^k -1) = 0$ )
Ahora cada $a_i \le (b-1)$ así que $P = \prod_{i=0}^k a_i = a_k*(b-1)^k$
Así que $n - S \ge \sum_{i=1}^{k}a_i(b-1)^k$
$= a_k*(b-1)^k+ \sum_{j=1}^{k-1}a_j(b-1)^k$
$\ge P$
Y la igualdad sólo se cumple si
i) $\sum_{j=1}^{k-1}a_j(b-1)^k= 0$
a) todos $a_j; 1\le j \le k$ son iguales a $0$ o b) $k -1 < 1$ es decir $k < 2$ y $n $ es un número de una o dos cifras.
Si a) $P =0$ y $n - S=0$ lo que sólo puede ocurrir si $n$ es un número de un dígito. ( $a_i*b^i > a_i$ si $a_i > 0; i > 0$ ). Por tanto, b) debe cumplirse.
b) Si $n$ es un número de un dígito, entonces $n - S = 0 = P$ así que $P = 0$ y $n= 0$ .
Esto sólo es cierto si $n$ es un número de dos cifras o $n = 0$ .
ii) Además, si $n$ es un número de dos cifras esto sólo es cierto si:
$n = a_1*b + a_0 = a_1 + a_0 + a_1*a_0; a_1 \ne 0$
$a_1(b - (a_0-1)) = 0$
$a_1 \ne 0$ así que $a_0 = b- 1$
Por tanto, el conjunto completo de soluciones para $n$ son $\{0, a_1*b + (b-1)|1 \le a_1 < b\}$
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Puede obtener más precisión definiendo un primer dígito del número.
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¿Qué significa b?