Ideales relativamente primos en dominios Dedekind

Question

Actualmente estoy trabajando a través de Lang Álgebra y me he encontrado con un ejercicio que no puedo resolver (Capítulo II, Ejercicio $19$ ). Cualquier ayuda será muy apreciada.

Sea $R$ sea un dominio Dedekind. Dados dos ideales distintos de cero $\mathfrak a, \mathfrak b$ en $R$ existe $c\in K^\times$ (el campo de fracción de $R$ ) tal que $c\mathfrak a$ y $\mathfrak b$ son relativamente primos.

Answer 1

Queremos demostrar que existe $c\in K^\times$ tal que $c\mathfrak a+\mathfrak b=R$ . Sea $0\ne a\in\mathfrak a$ y $\mathfrak c$ un ideal de $R$ tal que $\mathfrak c\mathfrak a=aR$ . (En un dominio Dedekind todo ideal distinto de cero es invertible, por lo que se puede elegir $\mathfrak c=a\mathfrak a^{-1}$ .) Además, $R/\mathfrak c\mathfrak b$ es un anillo ideal principal (quizás aquí es donde se aplica la sugerencia de Lang de utilizar CRT), por lo que $\mathfrak c/\mathfrak c\mathfrak b=(\bar b)$ . Así $\mathfrak c=\mathfrak c\mathfrak b+bR$ y multiplicando por $\mathfrak a$ y dividiendo por $a$ obtenemos $c\mathfrak a+\mathfrak b=R$ donde $c=b/a$ .