La "teoría de la representación" de Feynman para los números entre $1$ y $2$

Question

Encontrarás en el artículo de wikipedia Logaritmo una sección llamada Algoritmo de Feynman .

El párrafo hace afirmaciones sobre la unicidad que, cuando se interpretan matemáticamente, son incorrectas; véase este post de math.stackexchange,

Algoritmo de Feynman para calcular el logaritmo de un número en [1,2]

Pero no cabe duda de que el algoritmo funciona:

Definimos para $n \ge 1$

$$\tag 1 H_n = \frac{1}{2^n}$$

Sea $x$ sea un número real comprendido entre $1$ y $2$ y establece $P_0 = 1$

Sea $P_n$ definirse recursivamente. Si $P_n * (1 + H_{n+1}) \gt x$ configure

$\tag 2 P_{n+1} = P_n$

Si no

$\tag 3 P_{n+1} = P_n * (1 + H_{n+1})$

Afirmación; La secuencia monótona creciente $P_n$ converge a $x$ .

Proporcione una prueba de que esto es cierto.

Mi trabajo

Sabemos que la secuencia acotada converge y, por construcción, parece que hace todo lo posible para "llegar a $x$ ', pero no se trata de la habitual subdivisión binaria de intervalos con la que es fácil trabajar.

Cuando se produce una actualización en $n+1$ obtenemos $P_{n+1} = P_n + H_{n+1} * P_n$ . Así que "añadimos" el nuevo término $H_{n+1}$ y luego $H_{n+1}$ aplicado a otros términos los "desplaza hacia abajo" a términos de orden inferior. Podría ser una cuestión de resolver ecuaciones junto con cada paso del algoritmo, pero no es fácil ver cómo se nos garantiza construir $x$ que tiene la forma,

$\tag 4 x = 1 + \sum_{k=1}^\infty b_k H_k \; \text{ with } b_k \in \{0,1\}$

Además, he buscado una prueba de esto pero no la he encontrado. Así que cualquier comentario con enlaces sería muy apreciado.

Answer 1

Sea $y$ sea el límite del $P_n$ y supongamos por contradicción que $y<x$ . Existe un mínimo $m$ tal que $y(1+H_m)<x$ .

Entonces $1+H_m$ debe ser uno de los términos del producto que define $y$ para la secuencia de $P_n$ es cada vez mayor, por lo que $P_{m-1}(1+H_m) \leq y(1+H_m) < x$ . Del mismo modo, cada $1+H_{m+k}$ para $k\geq 0$ es un factor en $y$ y $$ y = (1+a_1 2^{-1})(1+a_2 2^{-2})\cdots (1+a_{m-1}2^{-(m-1)}) (1+2^{-m})(1+2^{-m-1})(1+2^{-m-2})\cdots$$ donde cada $a_i$ es 0 o 1. Ahora $a_{m-1}$ puede no ser cero, pero hay una mayor $r$ tal que $a_{r-1}=0$ (al menos uno debe ser cero, ya que $\prod_{k=1}^\infty (1+2^{-k}) >2 \geq x$ ) y tenemos $$y = P_{r-2} (1+2^{-r})(1+2^{-r-1})\cdots$$ Tenga en cuenta que $$ 1+2^{-r+1} < (1+2^{-r})(1+2^{-r-1})\cdots$$ ya que el rhs es mayor que $1+ 2^{-r}+2^{-r-1}+2^{-r-2}+\cdots = 1+2^{-r+1}$ . Es decir $P_{r-2} (1+H_{r-1}) < y < x$ contradictorio $a_{r-1}=0$