¿Por qué este valor no es imaginario? ¿O lo es?

Question

Supongamos que tenemos un cuadrado de 50 m² y otro de 25 m². Restando el segundo del primero obtenemos:

$$50\textrm{m}^2 - 25\textrm{m}^2 = 25\textrm{m}^2$$

algo que tiene sentido absoluto, entonces ¿por qué no podemos decir que 5m podría formar un cuadrado negativo? Es decir $-25\textrm{m}^2$ como en $50\textrm{m}^2$ y ( $-25\textrm{m}^2$ )

Obviamente dos números "reales" negativos no se pueden multiplicar para obtener un número negativo, pero en la práctica, podemos tener cuadrados negativos, es decir $-25\textrm{m}^2$ ¿sólo imaginario? Ya que sus dos lados serían negativos en comparación con un cuadrado normal.

Tal vez sea una pregunta tonta, pero ¿por qué no pueden existir los cuadrados negativos, cuando son tan "reales" como los enteros negativos, es decir. $50+(-25)$ o incluso $-1$ un valor que sólo podemos suponer que es real (ya que no tendría sentido tomar una cantidad negativa de, por ejemplo, una pila de cualquier cosa).

edit: ¿Es realmente una mala pregunta?

Answer 1

En última instancia, el cartel de la zona no indica una zona. El signo sobre $-25m^2$ es indicativo de un procedimiento en el que se está eliminando área.

Por otro lado, existe la noción de "superficie neta firmada". Se trata de comparar la superficie por encima o por debajo de una línea de separación colocando un signo en una u otra.

Así que el are negativo no es imaginario, por así decirlo, es simplemente una asignación de medida.

Answer 2

Intentaré dar varios puntos de vista sobre por qué construir un cuadrado con "lados negativos" (es decir, un cuadrado con coordenadas negativas) y asignarle un área negativa no es una buena idea.

Y luego recupera la fe en tu sistema, porque a alguien ya se le ha ocurrido algo parecido.

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Desde el punto de vista de la teoría de números, estamos respondiendo esencialmente a la siguiente pregunta:

¿Por qué no podemos tener $(-x)(-x)=-x^2$ ?

La respuesta puede ser desde muy sencilla hasta muy complicada. Para empezar, debemos generalizar el cuadrado a un rectángulo. Así que nuestra pregunta pasa a ser:

¿Por qué no podemos tener $(-x)(-y)=-xy$ ?

Creo que pueden empezar a ver los problemas aquí. En primer lugar, ya no tiene un "número $1$ ", que podrías multiplicar por cualquier número y dar esa cifra. Porque $(-1)\times1=-1 \neq1$ . Así que la multiplicación entre los números naturales no puede extenderse fácilmente a los números negativos.

También tienes problemas a la hora de resolver ecuaciones. La ecuación $(-2)x=-4$ tienen dos soluciones, $x=2$ y $x=-2$ . Esto puede no parecer importante, pero significa que la función $f(x)=(-2)x$ ya no tienen inversa, pero $g(x)=2x$ tiene.

Y ni siquiera mencionaré lo problemático que se vuelve el Teorema de Pitágoras.

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Desde un punto de vista geométrico, se crea un problema con los sistemas de referencia.

El área negativa depende del origen. Pero tú podrías poner el origen en la esquina de una habitación, mientras que yo lo pongo en el centro de la Tierra. Así, tú podrías tener un área negativa, mientras que yo tengo una positiva. Imagina lo que ocurre al intentar sumar las áreas.

Además, el signo del área pasa a depender de la dirección en la que midas su longitud.

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Dicho esto, no toda esperanza está perdida en su sistema: En realidad hay una manera de tener tu cuadrado con "área negativa" usando vectores.

Pero se basan en conceptos y pruebas rigurosas totalmente diferentes (por ejemplo, acordando una dirección de medida y una posición de origen) que simplemente inventarse una nueva regla de multiplicación para todos los números.

Y sí, sigue respetando la antigua regla $(-x)(-x)=x^2$ .