Irreductibilidad de $Y^2-2X^2$ en $\mathbb Q$

Question

Irreductibilidad de $Y^2-2X^2$ en $\mathbb Q$

''Si fuera reducible, tendría una raíz en $\mathbb Q^2$ ¿ Es esto también válido aquí o en general con más indeterminaciones ?

Answer 1

En los reales, este factor es $(y-\sqrt{2}x)(y+\sqrt{2}x)$ . Si se factoriza sobre los racionales, eso daría una segunda factorización sobre los reales, violando la factorización única.

Alternativamente: si se factoriza, entonces como es cuadrática sólo podría factorizarse en dos términos lineales, y las rectas definidas sobre los racionales tienen claramente más de un punto racional.

Por supuesto, ninguno de estos argumentos se generaliza muy bien.

Answer 2

Por el criterio Eisenstein, $2|2X^2$ pero $2^2\nmid 2X^2$ . Así que $Y^2-2X^2$ es irreducible sobre $\Bbb{Z}[X]$ y así sucesivamente $\Bbb{Z}$ . Como es mónico, $Y^2-2X^2$ es irreducible sobre $\Bbb{Q}$ .

Answer 3

$Y^2 - 2X^2$ es un polinomio univariante sobre el campo $\mathbb{Q}(X)$ . Como no tiene raíz en $\mathbb{Q}(X)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(X)$ .

Por consiguiente, si $Y^2 - 2X^2$ es reducible sobre $\mathbb{Q}$ uno de sus factores debe ser una unidad en $\mathbb{Q}(X)$ - es decir, un polinomio en $X$ solo. Observando el coeficiente de $Y^2$ está claro que $Y^2 - 2X^2$ no tiene estos factores.

Por lo tanto, $Y^2 - 2X^2$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .

Además, es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ por una razón similar; si fuera reducible, se podría factorizar un entero, pero vemos que eso es imposible mirando el coeficiente en $Y^2$ .

(de forma más general, podemos utilizar el contenido del polinomio para hacer estas deducciones)