Bajo estacionariedad débil, debe ser que la función de covarianza $C(Y_t,Y_{t+\tau})$ depende únicamente de $\tau$ la función media $E(Y_t)$ es constante para todo $t$ y estos momentos existen (¡son finitos!).
Supongamos la exogeneidad de $U_t$ con respecto a $X_\tau$ para todos $\tau$ . Entonces puedes escribir
$C(Y_t,Y_{t+\tau}) = b^2C(X_t,X_{t+\tau}) + C(U_t,U_{t+\tau})$ . Supongamos que $X_t$ es un proceso estacionario, se obtiene
$C(Y_t,Y_{t+\tau}) = k_X(\tau) + C(U_t,U_{t+\tau})$ . La sustitución da
$C(Y_t,Y_{t+\tau}) = k_X(\tau) + C(U_t,\phi^{\tau}U_t + \sum^{\tau-1}_{l=0}\phi^{l-1}e_{t+\tau-l}) = k_X(\tau) + C(U_t,\phi^{\tau}U_t)$ , ya que $e_t$ es ruido blanco. El último término es crucial para la estacionariedad débil de $Y_t$ . Usted tiene $C(U_t,\phi^{\tau}U_t) = \phi^{\tau}C(U_t,U_t) = \phi^{\tau}V(U_t)$ .
¿Cómo puede obtener $V(U_t)$ ? Transformar $U_t = \phi L U_{t} +e_t$ en $U_t(1-\phi L) = e_t$ . Por lo tanto, $V(U_t) = V(\frac{e_t}{1-\phi L}) = V(\sum_{l=0}^{\infty}\phi^{l}e_{t-l})$ donde la segunda igualdad sólo se cumple si $|\phi|\leq 1$ .
Ahora, a partir de la hipótesis del ruido blanco, se puede simplificar esta última expresión en
$\sum_{l=0}^{\infty} \phi^{2l} V(e_{t}) = \frac{1}{1-\phi^2}\sigma_e$ . Para $\phi=1$ se obtiene que $V(U_t)$ no es finito, por lo que $C(Y_t,Y_{t+\tau})$ no es finito, y el proceso $Y_t$ no es estacionario.
Esto demuestra que el proceso autocorrelacionado puede no ser estacionario.
Sin embargo, también es cierto que los procesos no correlacionados pueden no ser estacionarios. Consideremos un modelo sencillo: $Y_t = t + e_t$ . $E(Y_t) = t$ por lo que depende de $t$ lo que viola el supuesto de estacionariedad.
