¿La parte no negativa de una matriz real semidefinida positiva sigue siendo semidefinida positiva?

Question

Sea M sea una matriz semidefinida real positiva y consideremos la matriz no negativa de entrada M' obtenido de M poniendo a cero todas las entradas negativas de M . ¿Es cierto que M' es siempre semidefinida positiva?

Anexo 1: En términos más generales, consideremos la matriz no negativa por entradas M'' obtenido de M reduciendo a cero un conjunto arbitrario de entradas no diagonales (simétricamente, por supuesto). ¿Es cierto que M'' es siempre semidefinida positiva?

Anexo 2: Gracias a @orangeskid y @user1551 por sus rápidas respuestas. La pregunta del apéndice 1 tiene un contraejemplo incluso en 3 dimensiones .

Answer 1

PISTA: La respuesta es No.

Te diré por qué pensé que la respuesta es no, y luego te diré cómo encontrar un contraejemplo.

1. Hay una cuestión relacionada sobre las matrices semidefinidas positivas, si tomando el valor absoluto entrywise nos mantiene en el dominio semidefinido positivo. La respuesta es: sólo si la dimensión no es mayor que $3$ . Ahora bien, si ésta fuera cierta, la respuesta a su pregunta también sería afirmativa. Así que sospechamos que la respuesta es no.

2. Cómo buscar contraejemplos. He encontrado uno de tamaño $5\times 5$ . El truco consiste en producir un número suficiente de matrices semidefinidas positivas. Esto se consigue produciendo primero matrices simétricas aleatorias ( $ b = a + a^{t}$ ), luego tomando la exponencial. Eventualmente se encontrará con un contraejemplo.

3. Un contraejemplo explícito

\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccccc} 189.79 & 5.37843 & -122.669 & -214.584 & 122.596 \\ 5.37843 & 17.4416 & 3.21858 & -20.9122 & 13.1482 \\ -122.669 & 3.21858 & 83.255 & 133.105 & -75.7694 \\ -214.584 & -20.9122 & 133.105 & 255.536 & -146.986 \\ 122.596 & 13.1482 & -75.7694 & -146.986 & 84.6935 \\ \end{array} \(derecha) \fin{eqnarray}

Answer 2

La respuesta a su primera pregunta es no. He aquí un contraejemplo al azar: $$ A = \pmatrix{ 6&2&-1&1\\ 2&1&0&1\\ -1&0&7&2\\ 1&1&2&2}, \ B=\pmatrix{6&2&0&1\\ 2&1&0&1\\ 0&0&7&2\\ 1&1&2&2}. $$ Se puede comprobar por el criterio de Sylvester que $A$ es positiva definida, pero $\det B=-1$ .

Para $2\times2$ matrices, la respuesta a su pregunta es claramente afirmativa. Cuando el tamaño es $3\times3$ Sin embargo, no he podido encontrar ningún contraejemplo mediante simulación por ordenador.