Cómo encontrar este límite $\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_{0}^{1}(x(1-x))^nf(x)dx$

Question

Sea $f:[0,1]\longrightarrow R$ sea una función continua,Calcular el límite $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_{0}^{1}(x(1-x))^nf(x)dx$$

Mi intento:usar esto

$$n!\approx\left(\dfrac{n}{e}\right)^n\sqrt{2n\pi}$$ así que $$\dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2}\approx\dfrac{\left(\dfrac{2n+1}{e}\right)^{2n+1}\sqrt{2(2n+1)\pi}}{\left(\dfrac{n}{e}\right)^{2n}\cdot 2n\pi}=\dfrac{\sqrt{2n+1}}{e\sqrt{2\pi}}\left(2+\dfrac{1}{n}\right)^{2n+1}$$

Entonces siguiendo no puedo, y supongo que la respuesta a este problema es $f(\dfrac{1}{2})$ Pero no puedo probarlo.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Pista. Si ponemos

$$ K_{n}(x) = \frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}} x^{n}(1-x)^{n}, $$

entonces la masa total $\int_{0}^{1} K_{n}(x) \, dx$ es igual a $1$ para cualquier $n$ . (Basta con aplicar la integración por partes $n$ veces) Demuestre que esta secuencia de funciones es una aproximación a la identidad comprobando que para cualquier $\delta > 0$ tenemos

$$\lim_{n\to\infty} \int\limits_{\delta \leq |x - 1/2| \leq 1/2} K_{n}(x) \, dx = 0.$$

Puede que la fórmula de Stirling te resulte útil. Una vez demostrada, puedes comprobar que

$$ \int_{0}^{1} f(x) K_{n}(x) \, dx - f\left(\tfrac{1}{2}\right) = \int_{0}^{1} \left\{ f(x) - f\left( \tfrac{1}{2}\right) \right\} K_{n}(x) \, dx $$

llega a cero a medida que $n \to \infty$ .

Answer 2

No he estudiado todos los detalles, pero tu suposición debería ser correcta. He aquí algunas intuiciones.

La secuencia de funciones $\dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2} (x(1-x))^n$ son una "aproximación a la identidad". En $n$ aumenta, la función alcanza un pico muy cerca de $x=1/2$ y es casi $0$ en todas partes. Además, debe ser capaz de calcular $$\dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1 (x(1-x))^n \,dx = 1$$ para todos $n$ . (No estoy muy seguro de cómo hacerlo, pero puede intentar la sustitución $y = x-1/2$ o continuar con la fórmula de Stirling).

A continuación, utilice la continuidad de $f$ para encontrar una pequeña vecindad de $x=1/2$ de modo que los valores de $f$ están cerca de $f(1/2)$ en este barrio.

Entonces, $$ \dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1 (x(1-x))^n f(x) \,dx - f(1/2) \\ = \dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1 (x(1-x))^n f(x) \,dx - f(1/2)\dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1 (x(1-x))^n \,dx $$ ya que esta integral es igual a $1$ por lo que queda por demostrar $$ \left|\dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1 (x(1-x))^n \left(f(x) - f(1/2)\right) \,dx \right| $$ es arbitrariamente pequeño ya que $n\to\infty$ .

Para ello, utilice la vecindad mencionada anteriormente para estimar esta integral; dentro de esta vecindad, $f(x)$ está cerca de $f(1/2)$ y fuera de este barrio, $\dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2} (x(1-x))^n$ es muy pequeño.

Answer 3

Escriba a

$$ [x(1-x)]^n = \exp\Bigl\{n\log[x(1-x)]\Bigr\} $$

y observe que $\log[x(1-x)]$ tiene un máximo en $x=1/2$ . Expandiendo esto en una serie de potencias alrededor de este punto se obtiene

$$ \log[x(1-x)] = -\log 4 - 4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + o\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 $$

como $x \to 1/2$ por lo que podemos concluir que

$$ \begin{align} \int_0^1 \exp\Bigl\{n\log[x(1-x)]\Bigr\}f(x)\,dx &\sim \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{n\left[-\log 4 - 4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\right]\right\}f\left(\frac{1}{2}\right)\,dx \\ &= 2^{-2n-1} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f\left(\frac{1}{2}\right) \end{align} $$

por el método de Laplace. Ahora

$$ \frac{(2n+1)!}{(n!)^2} \sim 2^{2n+1} \sqrt{\frac{n}{\pi}} $$

mediante la fórmula de Stirling, de la que se deduce el resultado.