Cómo mostrar $\int g \, d\nu = \int g \cdot f \, d\mu$ donde $\nu(K) = \int_K f \, d\mu$ ?

Question

Sea $\mu$ sea una medida sobre $X$ y que $f:X \rightarrow [0,+\infty]$ sea $\mu$ -medible. Definir la medida: $$ \nu(K) = \int_K f \, d\mu $$ Sé que cualquier $\mu$ -función medible $g:X \rightarrow [0,+\infty]$ es también $\nu$ -medible. Quiero demostrar que para cualquier función de este tipo, tenemos: $$ \int g \, d\nu = \int g \cdot f \, d\mu $$

Ya he demostrado el caso en el que $g$ es simple. También he demostrado que si $h$ es simple, entonces $h \leq g \;$ $\nu$ -a.e. si y sólo si $hf \leq gf \; \mu$ -a.e. Usando estos hechos y la definición de la integral inferior, podemos escribir: \begin{align*} \int g \, d\nu &= \sup \left\{ \int h \, d\nu : h \text{ is } \nu \text{-integrable, simple, } h \leq g \; \nu \text{-a.e.} \right\} \\ &= \sup \left\{ \int h \cdot f \, d\mu : h \text{ is } \nu \text{-integrable, simple, } hf \leq gf \; \mu \text{-a.e.} \right\} \end{align*} Pero en este punto estoy perdido en cuanto a cómo transformar esto en la integral inferior de $\int gf \, d\mu$ es decir: $$ \sup \left\{ \int h \, d\mu : h \text{ is } \nu \text{-integrable, simple, } h \leq gf \; \mu \text{-a.e.} \right\} $$

Answer 1

Creo que estás demasiado centrado en intentar utilizar directamente la definición de la integral. Hay un montón de otros métodos para calcular integrales que son mucho más útiles (simplemente no los usamos como la propia definición ya que está menos claro que estén bien definidos).

En particular, cualquier función medible no negativa puede integrarse considerándola como un límite creciente de funciones simples. Piensa cómo podrías utilizar esto aquí. A continuación se oculta una solución completa que utiliza esta idea.

Dado cualquier $g$ sea el límite de una sucesión creciente de funciones simples $(g_n)$ . Usted sabe que $$\int g_n \, d\nu = \int g_n \cdot f \, d\mu$$ para cada $n$ . Ahora basta con tomar el límite de ambos lados como $n\to\infty$ . Por el teorema de convergencia monótona (para integrales respecto a $\nu$ a la izquierda y para integrales respecto a $\mu$ a la derecha), se obtiene $$\int g \, d\nu = \int g \cdot f \, d\mu.$$