Así es como yo resolvería estos problemas:
Para (c.), obsérvese que una matriz $A \in M_3(R)$ tiene al menos un valor propio real, ya que su polinomio característico es de grado 3, y los polinomios reales de grado impar tienen al menos una raíz real. Pero si $A^2 + I = 0$ los valores propios $\lambda$ de $A$ debe cumplir $\lambda^2 + 1 = 0$ es decir $\lambda = \pm i$ . Esto demuestra que no existe una matriz $A \in M_3(R)$ satisfaciendo $A^2 + I = 0$ . Por lo tanto, la proposición,
" $A \in M_3(R) \; \text{and} \; A^2 + I = 0 \Rightarrow A \; \text{is diagonalizable over} \; R.$ "
es vacuamente cierto.
Para (b.), sea
$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}; \tag{1}$
entonces
$(A - 3I)^2 = N^2 = 0, \tag{2}$
donde
$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \tag{3}$
Ahora vemos que $A$ no puede ser diagonalizable sobre $R$ ya que el único valor propio de $A$ es $3$ en virtud de $(A - 3I)^2 = 0$ si existiera una matriz real no singular $P$ con $PAP^{-1}$ diagonal, tendríamos
$PAP^{-1} = 3I; \tag{4}$
pero (4) implica $A = P^{-1}(3I)P = 3I$ contradiciendo (1). Este ejemplo puede generalizarse en el siguiente sentido: cualquier no diagonal $A$ satisfaciendo $(A - 3I)^2 = 0$ puede escribirse claramente como $A = 3I + N$ con $N \ne 0$ satisfaciendo $N^2 = 0$ . El único valor propio de tal $A$ es $3$ Así pues $PAP^{-1}$ fuerzas diagonales $A = 3I$ exactamente como acabamos de ver. Esto contradice $N \ne 0$ .
Por último, para (a.), utilice la forma de Jordan: si $A$ eran no diagonalizable, cada bloque de Jordan J tendría que satisfacer $J^2 = J$ ; pero $J = \lambda I + N$ con $N = [n_{ij}]$ y $n_{ij} = 1$ si $j = i+ 1$ , $n_{ij} = 0$ de lo contrario $J^2 = \lambda^2 I + 2\lambda N + N^2 \ne J$ Así pues $A$ se puede diagonalizar.
Espero que esto ayude. Salud,
y como siempre, ¡¡¡Fiat Lux!!!
Por último, en cuanto a
