Mostrar $T$ no puede ser un operador compacto

Question

Sea $(X,\lVert\cdot\Vert_x)$ y $(Y,\lVert\cdot\Vert_y)$ sean espacios normados, X sea de dimensión infinita y $T\in\mathcal{L}(X,Y)$ Que tiene la propiedad: existe $m>0$ tal que $ \Vert{T x}\rvert|_Y \ge m\Vert{x}\Vert_X$ para todos $x \in X $ . Demostrar que $T$ no puede ser un operador compacto.

Intenté resolverlo. Tengo una idea pero no estoy seguro. Si $T$ es compacta si y sólo si $T$ es continua y tiene que ser cerrada y acotada.

Espero que alguien pueda ayudarme.

Answer 1

Si un espacio normado $X$ es de dimensión infinita, entonces la bola unitaria cerrada no es compacta, ni precompacta, lo que significa que existe una secuencia $\{x_n\}\subset X$ sin una subsecuencia de Cauchy. En su caso, como $\|Tx_i-Tx_j\|_Y\ge m\|x_i-x_j\|$ entonces la secuencia $Tx_n$ no tiene una subsecuencia de Cauchy, y esto implica que $T$ no es un operador compacto.