Mostrar que $\frac {a+b+c} 3\geq\sqrt[27]{\frac{a^3+b^3+c^3}3}$.

Question

Dadas $a,b,c>0$ y $(a+b)(b+c)(c+a)=8$. Mostrar que $\displaystyle \frac {a+b+c} 3\geq\sqrt[27]{\frac{a^3+b^3+c^3}3}$.

Obviamente, AM-GM parece ser conveniente para el lado izquierdo.

Para RHS, $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)^3-24$, entonces no sé qué hacer.

¿Puede alguien por favor me enseñe? Gracias.

p.d.: Que $\sqrt [27]{}$ es realmente terrible...

Answer 1

desde $ $$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(a+c)=a^3+b^3+c^3+24$de % que $$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3+3+3+3+3+3+3+3\ge 9\sqrt[9]{(a^3+b^3+c^3)\times 3^8}$ $

así $$\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[27]{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}}$ $

Answer 2

Deje $s = a+b+c$. Entonces, como usted ha dicho, la desigualdad es equivalente a: $$ \frac{s}{3} \geq \sqrt[27]{\frac{s^3-24}{3}} \qquad (\ast)$$ Porque sabes que $(a+b)(b+c)(c+a) = 8$, o, equivalentemente,$\frac{a+b}{2}\cdot\frac{b+c}{2}\cdot\frac{c+a}{2} = 1$, se deduce que el $s = \frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} + \frac{c+a}{2} \geq 3$. De hecho, esto es todo lo que puedo decir acerca de $s$, por lo que nuestro problema inicial es equivalente a mostrar que la $(\ast)$ tiene para todos los $s \geq 3$. Puede reescribir $(\ast)$ como: $$ \left( \frac{s}{3} \right)^2 - \frac{s^3-24}{3} \geq 0 \qquad (\ast\ast)$$ Para $s = 3$ no hay igualdad en $(\ast\ast)$, y lo que de hecho puede dividir $(s-3)^2$ desde el lado izquierdo. El resultado de la función: $$ \frac{\left( \frac{s}{3} \right)^2 - \frac{s^3-24}{3}}{(s-3)^2} $$ es un polinomio que se toma estrictamente valores positivos para $s \geq 3$ (de hecho, para $s \geq -3$). Directamente se puede comprobar que por una variedad de métodos de fuerza bruta (posiblemente con la ayuda de algunos softwere como Mathematica)

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Un resultado más satisfactorio idea: Poner a $t = (s/3)^3 \geq 1$ para la facilidad de la notación. Fácilmente podemos ver que $(\ast\ast)$ es equivalente a $$t^{9} - 9t + 8 \geq 0 $$ Pero esto se desprende directamente mediante la aplicación de AM-GM a $t^9,1,1,1,1,1,1,1,1$!.

Answer 3

He encontrado una solución que utiliza un poco de cálculo.

El primer uso de la identidad que ya se ha encontrado, estamos figura la desigualdad es equivalente a $$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3+24}{27}} = \frac{a+b+c}{3} \le \sqrt[27]{\frac{a^3+b^3+c^3}{27}}.$$ Establecimiento $x = \frac{a^3+b^3+c^3}{27}$ encontramos que es equivalente a decir $$(x+\frac89)^9-x \ge 0.$$ Aquí es donde el cálculo entra en la ecuación. Es un método estándar para probar que todos los ceros de $p(x) = (x+\frac89)^9-x$ son en realidad negativa. Desde $x\ge0$, por definición, esto demuestra la desigualdad. [El cálculo: Tomar la derivada $p'(x) = 9(x+\frac89)^8-1$ que tiene dos ceros $x_1,x_2$ menor que cero. Mostrar que $p(x_1),p(x_2)>0$.]