Ayuda con la suma telescópica $\sum_{i=3}^n \frac{1}{i(i+3)} $

Question

¿Cómo puedo utilizar la técnica telescópica para calcular la siguiente suma? Tengo problemas para empezar. Conozco los pasos básicos pero no sé cómo realizarlos. Sé que tengo que separar la fracción en A y B. Después de eso tengo que realizar la suma, pero no estoy seguro de lo que viene después.

$$\sum_{i=3}^n \frac{1}{i(i+3)} $$

Gracias por su ayuda.

Answer 1

$\sum_{i=3}^{n} \frac{1}{i(i+3)} = \frac{1}{3} \sum_{i=3}^{n} \frac{1}{i} - \frac{1}{i+3}$ mediante fracciones parciales.

Para ver lo que ocurre, prueba a escribir los 4 primeros términos más o menos y verás rápidamente lo que se anula y lo que sobra...

Answer 2

$\displaystyle\sum_{i=3}^n \dfrac{1}{i(i+3)}=\dfrac{1}{3}\sum_{i=3}^n \left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+3}\right)=\dfrac{1}{3}\sum_{i=3}^n \left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}+\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}+\dfrac{1}{i+2}-\dfrac{1}{i+3}\right)$

$\displaystyle=\dfrac{1}{3}\sum_{i=3}^n \left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)+\dfrac{1}{3}\sum_{i=3}^n \left(\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}\right)+\dfrac{1}{3}\sum_{i=3}^n \left(\dfrac{1}{i+2}-\dfrac{1}{i+3}\right)$

$=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{n+3}\right)$

$=\dfrac{(n-2)(47n^2+196n+189)}{180(n+1)(n+2)(n+3)}$