Me estoy enseñando algo de cálculo dimensional superior, y actualmente estoy atascado en la definición de la derivada total. El libro que estoy usando es Principios del análisis matemático de Walter Rudin, y define la derivada como
Supongamos que $E$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ , $f$ mapas $E$ en $\mathbb{R}^m$ y $x \in E$ . Si existe una transformación lineal $A$ de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$ tal que $$ \lim_{h \to 0} \frac{|f(x + h) - f(x) - Ah|}{|h|} = 0, $$
entonces decimos que $f$ es diferenciable en $x$ y escribimos
$$ f'(x) = A. $$
Mi confusión proviene de la $Ah$ término por dos razones: otros textos definen este término como $L(v)$ para alguna función lineal $L$ , y porque Rudin también escribe que "ya que $A \in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m), Ah \in \mathbb{R}^m$ "que indican que $A$ está tomando $h$ como argumento. Esto no tiene sentido para mí, para suponer que $f$ fuera también lineal, entonces el límite implica que la función lineal $A$ es $f$ sí mismo:
Si escribimos $A(h)$ destacar que $A$ es función de $h$ entonces por la linealidad de $f$ el numerador del límite se convierte en $$ f(x + h) - f(x) - A(h) = f(h) - A(h) $$ para que el límite sea cero precisamente cuando $A = f$ . Sin embargo, ¡la derivada de una función lineal no debe ser la misma función lineal! ¿Cuál es la forma correcta de entender esta definición? ¿Y cómo podría encontrar la derivada de una función arbitraria? Por ejemplo, ¿cuál es la derivada de la función $$ g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, g(x, y) = xy $$ según esta definición?