Primer valor propio positivo; el operador cumple el principio de máximo

Question

Estoy intentando comprender un documento. Tienen $u$ es una solución suave estable de $ -\Delta u = f(u)$ en $ \Omega$ con $ u=0$ en $ \partial \Omega$ donde $\Omega$ es un dominio acotado en el espacio euclídeo. Por estable se entiende que el primer valor propio del operador linealizado es estrictamente positivo; es decir, existe algún $ \mu>0$ y $ \phi>0$ que resuelve $$-\Delta \phi - f'(u) \phi=\mu \phi \; \; \mbox{ in } \; \; \Omega$$ con $ \phi=0$ en $ \partial \Omega$ . A continuación afirman que $ \sup_\Omega | \nabla u| = \sup_{\partial \Omega} | \nabla u|$ por el principio máximo, ya que $ \mu$ es positivo y puesto que $ u_{x_i}$ resuelve $-\Delta (u_{x_i}) - f'(u) u_{x_i}=0$ en $ \Omega$ .

La parte que no entiendo es esa afirmación final sobre que el máximo del gradiente se obtiene en la frontera. Supongo que esto debe venir directamente del principio máximo estándar, pero no lo veo.

Por ejemplo, supongo que dicen que si $ C(x)>0$ es una función suave y existe $ \phi>0$ en $ \Omega$ y $ \mu>0$ que satisface $ -\Delta \phi - C(x) \phi = \mu \phi$ en $ \Omega$ con $ \phi=0$ en $ \partial \Omega$ y $ -\Delta \psi - C(x) \psi=0$ en $ \Omega$ que debemos tener $ \sup_{\Omega} | \psi| = \sup_{\partial \Omega} | \psi| $ pero estoy convencido de que se me ocurren contraejemplos triviales a esta afirmación final. Asumo claramente que debo estar pasando por alto algo obvio o. Cualquier comentario sería de gran ayuda.

Answer 1

No sé si es útil, pero aquí va un comentario (no una respuesta). Aunque posiblemente no sea cierto que $u_i$ tiene un extremo en $\partial\Omega$ es cierto que $$ v_i:=\frac{u_i}{\phi} $$ lo hace. Obsérvese la identidad algebraica $$ b\Delta \left(ab\right)=\textrm{div}\left(b^2Da\right)+ab\Delta b, $$ y aplicarlo a $a=v_i$ y $b=\phi$ para obtener \begin{eqnarray*} 0&=&-\phi \Delta u_i - f^\prime(u_i)\phi u_i \\ &=& -\textrm{div}\left(\phi^2Dv_i\right)+v_i\phi\left( -\Delta \phi - f^\prime(u_i)\phi \right) \\ &=&-\textrm{div}\left(\phi^2Dv_i\right) +\mu\phi^2 v_i, \end{eqnarray*} y ahora el lado derecho es un operador con coeficientes positivos. Normalmente esto se utiliza con un Neumann o periódica eigensolution, que no desaparece en la frontera, y por lo tanto da límites significativos para los gradientes. En este caso $\phi$ desaparece, lo que dice está menos claro.