Es $\iint\limits_{D}\frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{5}+5}dx\,dy$ convergente en $D=[0,+\infty)\times[0,+\infty)$

Question

¿Puede decirme si mi planteamiento es correcto?

Pasamos primero a coordenadas polares y obtenemos la siguiente integral:

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{r}{r^{10}+5}d\phi dr=\int\limits _{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi\int\limits _{0}^{\infty}\frac{r}{r^{10}+5}dr=\frac{\pi}{2}\int\limits _{0}^{\infty}\frac{r}{r^{10}+5}dr$

A partir de ahora la resolvemos como si fuera una integral impropia de una sola variable. Sabemos que $\int\limits _{1}^{+\infty}\frac{1}{r^{\alpha}}$ es convergente $\iff\alpha\ge2$ .

Utilizamos los siguientes criterios. Sea $F(x)\ge 0,\,G(x)\ge 0$ sea tal que $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{F(x)}{G(x)}=\lambda,\lambda\in\mathbb{{R}}\cup\{+\infty\}$ . Si $\lambda$ es real y si $\int\limits_{a}^{+\infty}G(x)dx$ es convergente $\implies \int\limits _{a}^{+\infty}F(x)dx$ también es convergente.

Tomamos $G(r)=\frac{1}{r^{9}}$ y calcula $\lim\limits_{r\to\infty}\frac{F(r)}{G(r)}=\frac{r^{10}}{r^{10}+5}=1$ por lo que la integral es convergente.

Answer 1

Es más sencillo decir que $0 < \frac{r}{r^{10}+5} < \frac1{r^9}$ en $[1,\infty)$ y $\int\limits_1^{\infty}\frac1{r^9}dr$ converge, por lo que $\int\limits_1^{\infty}\frac{r}{r^{10}+5}dr$ converge.

(También, $0 \le \frac{r}{r^{10}+5} < \frac15$ en $[0,1]$ Así que $\int\limits_0^1\frac{r}{r^{10}+5}dr$ converge).