¿Puede una métrica en Relatividad General, supergravedad, teoría de cuerdas, etc., ser asimétrica?

Question

¿Por qué es que los problemas hasta ahora tienen métricas que representados en forma de matriz resultan para ser simétrica? ¿No hay matrices asimétricas que representan algunos indicadores?

Answer 1

Una métrica en un colector $M$ es, por definición, un campo de 2-tensor simétrico $g$ con la propiedad que $g_x$ es positivo definido para cada $x\in M$ (además de algunos requisitos de suavidad/continuidad si $M$ es liso/topológica). Esto asegura que la norma de un vector en una fibra del haz tangente a $M$ es un número no negativo, y que el ángulo entre vectores no depende del orden en el que usted elija ellos, es decir, $$\frac{g(u,v)}{\sqrt{g(u,u)g(v,v)}} = \frac{g(v,u)}{\sqrt{g(u,u)g(v,v)}}.$ $

Answer 2

Técnicamente, sí (sueltos suficiente definición de "métrica"), pero hay muy poco sentido.

Algunos intentos de unificación de la gravedad y el electromagnetismo, incluyendo varios intentos por Einstein y varios co-autores, básicamente, el importe de la variación de tratar de interpretar la parte antisimétrica $g_{[ab]}$ como la electromagnética de Faraday tensor $F_{ab}$.

Estos tienden a ser inviable debido a que en la relatividad general, la métrica actúa como un potencial para el campo gravitatorio, por lo que la parte antisimétrica debería funcionar como una especie de potencial. Pero el potencial electromagnético es un cuatro-vector lugar. Sin embargo, como se mencionó en los comentarios, un Kalb–Ramond campo generaliza potencial electromagnético sería del tipo correcto.

Una mayor obstáculo para que a algún tipo de asimetría métrica, sin embargo, es que simplemente no es muy útil. Siempre se puede descomponer en simétrica y anti-simétrica de las partes, por lo que es "habitual tipo de métrica, además de un campo adicional" de todos modos. Desde un simétrica métrica tiene una clara interpretación geométrica y ricos de la teoría matemática, no ganarás nada si la fuerza de la mermelada de una antisimétrica potencial en una métrica.

Answer 3

En general, tener una relación asimétrica de matriz para una métrica, realmente no ayuda, porque sólo su simétrica parte contribuirá a la norma de cualquier vector dado.

Tomar algunas finito-dimensional espacio vectorial real $V$, con un producto interior $\langle\cdot, \cdot\rangle$ representado por algunos matriz $g_{ij}$ en una base $\beta$. A continuación, para cualquier vector $v$ con componentes de $v_i$$\beta$, puede reescribir su norma como $$ \langle v,v\rangle= v_i g_{ij}v_j= v_j g_{ji}v_i $$ por el cambio de los índices. Esto es equivalente a tomar la transpuesta de la matriz de la ecuación $$\langle v,v \rangle =v^Tgv$$ to get $$\langle v,v \rangle =v^Tgv=v^T g^T v.$$

Si ahora agregar a ambos lados de las ecuaciones y se dividen por dos, se obtiene $$ \langle v,v \rangle=v^T\frac{g+g^T}{2}v=v_i\frac{g_{ij}+g_{ji}}{2}v_j. $$ En esencia, se puede reemplazar con seguridad $g$ por su parte simétrica $g_S=\tfrac12 (g+g^T)$, debido a que su parte antisimétrica $g_A=\tfrac12 (g-g^T)=g-g^T$ no contribuye a la norma de cualquier elemento (desde $v^T g_A v=(v^T g_A g)^T=-v^Tg_A g$ y, por tanto,$v^T g_A v=0$).

Ahora, por supuesto, la parte antisimétrica juega un papel en el cálculo de cualquier producto interior $\langle v,w\rangle$. Sin embargo, es sólo las normas que son físicamente medibles, por lo que las consecuencias de una antisimétrica métrica no ser medibles.

Tales consecuencias, sin embargo, profundizar en contra de las matemáticas, ya que uno de los axiomas básicos de producto interior espacios es que sean simétricas, $$ \langle v,w\rangle=\langle w,v\rangle, $$ que a su vez requiere de una matriz simétrica. Esto significa que es aceptable tener una matriz antisimétrica de la norma, porque en realidad no cambia la norma de cualquier vector, pero usted no será capaz de utilizar esta matriz para un producto interior, y por lo tanto se pierda en el interior de estructuras de producto en la que todas GR teoría se basa.

Answer 4

Tensores asimétricas han sido consideradas en la búsqueda de una teoría unificada de campo clásica.

Einstein fue en particular a través de toda una serie de teorías del candidato. Su último papel sobre el tema - coautor de Bruria Kaufman, presentó 3 meses antes y publicados tres meses después de su muerte - es un campo de este tipo; la teoría de la realidad fue referida como 'la teoría del campo no simétrica'.