Supongamos que tengo una función vectorial en $\mathbb{R}^2$ de una sola variable real, $t$ ,
$$f(t) = \langle t,t\rangle$$
Ahora bien, esta función es continua en $t$ . Sin embargo, si lo entiendo bien, un vector puede moverse por el plano siempre que sus componentes sigan siendo las mismas. Por ejemplo, los puntos $p_1 = (1,1)$ , $p_2 = (2,2)$ y $p_3 = (3,3)$ se pueden utilizar para formar los vectores $p_2 - p_1 = \langle 1,1 \rangle$ y $p_3 - p_2 = \langle 1,1 \rangle$ y estos dos vectores son equivalentes a pesar de estar formados por conjuntos de puntos diferentes.
Como resultado, si decidiera dibujar estos vectores en el plano, podría hacerlo de forma que ningún vector compartiera una cola o cabeza común. En efecto, la gráfica de esta función en el plano puede trazar una curva continua en $\mathbb{R}^2$ o podría hacerse que se redujera a un conjunto desconectado de puntos allí.
Estoy tratando de entender mejor la intuición de esto. La función es continua en el espacio vectorial, ¿verdad? Pero no es continua en $\mathbb{R}^2$ necesariamente. ¿Qué significa esto? Por ejemplo, ¿por qué no $\mathbb{R}^2$ el espacio vectorial, y ¿en qué se diferencia? ¿Qué significa trazar una curva continua en un espacio vectorial? $\mathbb{R}^2$ con mi función? ¿Es "doblemente continua" o algo así?
