Investigación en topología para un estudiante de máster

Question

Espero que este sea el mejor lugar para preguntar esto, voy a empezar mi maestría muy pronto, ya he cursado las materias regulares de pregrado que incluyen Análisis Real, Análisis sobre variedades, Álgebra Abstracta, Teoría de Campos, Topología de conjuntos de puntos, Topología Algebraica, etc. Me gusta mucho la topología algebraica y me parece muy bonita, quisiera saber que áreas de la topología algebraica son las más interesantes para empezar a trabajar y que libros puedo estudiar con mi formación para tener los prerrequisitos para empezar a estudiar esta materia.

Quiero lo más pronto posible tiene un "sabor" de un campo de investigación actual en topología algebraica, y sé que un topólogo algebraico me puede dar un "camino más corto" mientras asisto a los cursos regulares de mi maestría.

Gracias

Answer 1

Si quieres aprender topología algebraica, puedes empezar por lecturas muy clásicas. Cuando era estudiante de doctorado, leí por primera vez el libro de Milnor Stasheff sobre "Clases características", aquí aprenderás mucho de topología diferencial y algebraica. Hay muchos libros buenos para leer, J.-F. Adams "Infinite loop spaces" o su libro azul sobre "stable homotopy and generalised homologies", J. Milnor sobre la teoría de Morse.

Recomiendo encarecidamente la página de Andrew Ranicki, donde encontrarás un montón de cosas interesantes sobre cirugía algebraica y geométrica, topología PL y esferas exóticas. Jacob Lurie también tiene muy buenos apuntes de sus cursos en su página web. Dan Freed está dando un curso sobre el cobordismo y sus notas son muy buenas, y encontrarás un montón de referencias aquí. También puedes consultar los apuntes de H. Miller "Notes on cobordism" y "Vector fields on spheres" (búscalo en Google). Y J. P. May también tiene una lista de libros muy buenos en su página web.

Y sobre todo, lea los artículos clásicos de Adams, Pontryagin, Quillen, Serre, Sullivan, Thom... John Francis tiene una lista de artículos clásicos para el seminario Kan en su página web.

Estoy seguro de que mi lista es demasiado larga y he olvidado un montón de buenas referencias (páginas web, apuntes de cursos y libros).

Answer 2

Para su primer problema de investigación, le recomiendo que busque un asesor en su departamento. Si no hay ningún topólogo algebraico en su departamento, busque algún otro asesor y pídele que te sugiera un problema interesante.

Es muy poco probable que, como estudiante de máster, seas capaz de encontrar y resolver un problema de investigación razonable, sin la ayuda de un asesor experimentado. En este sitio, la gente sólo puede darle recomendaciones de lectura, y esto probablemente no sea suficiente para comenzar tu propia investigación. Pero, por supuesto, hubo raras excepciones en la historia en las que matemáticos autodidactas hicieron buenas investigaciones.

Aquí hay un problema pendiente en topología algebraica en este sitio:

fedja (mathoverflow.net/users/1131), Dos mapeos conmutativos en el disco, Dos mapeados conmutativos en el disco (versión: 2009-11-25)

Para entender el enunciado del problema, hacen falta pocos conocimientos. Qué hay que aprender para resolver este problema, nadie lo sabe:-)

Le deseo suerte.