Expansión de la función zeta primera cerca de singularidades

Question

En función zeta primera tiene la siguiente expansión cerca de su singularidad en 1:

$$P(1+\varepsilon) = -\ln \varepsilon + C + O(\varepsilon)$$

También tiene una singularidad en el recíproco de cada entero positivo sin cuadrado . ¿Cuál es su expansión cerca de cada una de estas singularidades? ¿Es

$$P(1/n+\varepsilon) = -\frac{\mu(n)}{n} \ln \varepsilon + C + O(\varepsilon) $$

donde $\mu$ es el Función de Möbius ?

Answer 1

Aquí hay dos ingredientes principales. El primero es $\zeta$ cerca de su singularidad $s=1$ :

$$ \zeta(1+\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon}+\gamma+\mathcal{O}(\varepsilon) $$

(donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni). La otra es la fórmula de inversión de Mobius:

$$ P(s)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k}\ln \zeta(ks). $$

Esto se menciona en la página de MathWorld que enlazaste para la función zeta primera $P(s)$ . Obsérvese que los únicos términos distintos de cero se producen cuando $k$ es libre de cuadrados. Configuración $s=1/n+\epsilon$ produce

$$ P(1/n+\epsilon)=\frac{\mu(n)}{n}\ln\zeta(1+n\varepsilon)+\sum_{\substack{k=1\\ k\ne n}}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k}\ln\zeta(k(1/n+\varepsilon)). $$

Dejar $\varepsilon\to0$ en este caso, y utilizando el $\mathcal{O}$ ampliación de $\zeta$ y $\ln$ produce

$$ \begin{array}{ll} \ln\zeta(1+n\varepsilon) & =\ln\left(\frac{1}{n\varepsilon}+\gamma+\mathcal{O}(\varepsilon)\right) \\ & = -\ln(n\epsilon)+\ln(1+n\gamma\epsilon+\mathcal{O}(\varepsilon^2)) \\ & = -\ln(n\varepsilon)+\mathcal{O}(\varepsilon). \end{array} $$

Por lo tanto,

$$ P(1/n+\varepsilon)=-\frac{\mu(n)}{n}\ln(\varepsilon)+\left[-\frac{\mu(n)}{n}\ln(n)+\sum_{\substack{k=1\\k\ne n}}^\infty \frac{\mu(k)}{k}\ln\zeta(k/n)\right]+\mathcal{O}(\varepsilon). $$