Un ejercicio confuso sobre la regla de Bayes

Question

Lo siguiente es de un libro de texto una estadística bayesiana. que no puedo entender alguna deducción. Es relevante acerca de múltiples parámetros a estimar.

La j-ésima observación en el i-ésimo grupo se denota por $y_{ij}$ ,
donde

$$(y_{ij}|\mu_i,\sigma)\sim N(\mu_i,\sigma^2) \quad j=1,2, \dots, n_i \quad i= 1,2, \dots, m$$

También el $y_{ij}$ son independientes entre sí.

Supongamos que $\mu_i \sim N(\mu,\tau^2)$ y denotamos
$$\theta= (\mu, \log(\sigma),\log(\tau))$$ $$Y=\{y_{ij}: j=1,\dots, n_i, i=1,\dots, n\}$$ $$Z=(\mu_1,\dots, \mu_m)$$ $$n=n_1+n_2+\cdots +n_m$$

Así que $\theta$ son los parámetros desconocidos interesados. Tomemos su distribución a priori como $p(\theta) \propto \tau$ . Entonces, por la regla de Bayes, no es difícil obtener la distribución posterior:

$$p(Z,\theta|Y) \propto p(\theta) \prod\limits_{i = 1}^m {p(\mu_i|\mu,\tau)} \prod\limits_{i = 1}^m \prod\limits_{j = 1}^{n_i} {p(y_{ij}|\mu_i,\sigma)}$$

Este es el lugar que no puedo entender. Cómo obtener esta fórmula si No.3 fórmula no es correcta en este hilo: Estoy confundido sobre la regla de Bayes en MCMC

¿Podría alguien explicarlo con detalle? Si hay algún libro excelente que pueda ayudarme, por favor, indíquelo.

Answer 1

AFAICT, el "truco" es que, por definición, $y_{ij}$ depende de $\mu$ y $\tau$ sólo a través de $\mu_i$ . Así, $$p(y_{ij}\mid\mu_i,\sigma) = p(y_{ij}\mid\mu_i,\sigma,\mu,\tau) = p(y_{ij}\mid\mu_i,\theta).$$

Del mismo modo, $\mu_i$ no depende de $\sigma$ Así que $$p(\mu_i\mid\mu,\tau) = p(\mu_i\mid\mu,\tau,\sigma) = p(\mu_i\mid\theta).$$ En concreto, esto significa que podemos reescribir su ecuación como

$$ \begin{aligned} p(Z,\theta\mid Y) \propto& p(\theta) \prod_{i = 1}^m p(\mu_i\mid\mu,\tau) \prod_{i = 1}^m \prod_{j = 1}^{n_i} p(y_{ij}\mid\mu_i,\sigma) \\ =& p(\theta) \prod_{i = 1}^m p(\mu_i\mid\sigma,\mu,\tau) \prod_{i = 1}^m \prod_{j = 1}^{n_i} p(y_{ij}\mid\mu_i,\sigma,\mu,\tau) \\ =& p(\theta) \prod_{i = 1}^m p(\mu_i\mid\theta) \prod_{i = 1}^m \prod_{j = 1}^{n_i} p(y_{ij}\mid\mu_i,\theta) \\ =& p(\theta)\, p(Z\mid\theta)\, p(Y\mid Z,\theta) \\ =& p(Y,Z,\theta) \\ =& p(Z,\theta\mid Y)\, p(Y). \end{aligned} $$