Siempre me confunde cómo debe hacerse la aproximación. Considerando este problema en un libro de texto:
Dos palos sin masa de longitud $2r$ cada uno con una masa $m$ fijas en su centro, están articuladas en un extremo. Uno está encima del otro. El extremo inferior del palo inferior está articulado en el suelo. Se sujetan de modo que el palo inferior esté vertical y el superior inclinado en un pequeño ángulo. $$ with respect to the vertical. They are then released. At this instant, what are the angular accelerations of the two sticks? $$ es muy pequeño.
Visión corta: Me ha parecido, en la solución, que el autor (David Morin) ha hecho aproximación al Lagrange con primer pedido aproximación al término de energía cinética, y luego segundo orden aproximación al término de energía potencial.
Tengo dos preguntas, y las he enumerado al final de este post.
Visión larga: la energía cinética del Lagrangiano explícitamente es:
$$\frac{1}{2}mr^2[(2\dot\theta_1cos\theta_1-\dot\theta_2cos\theta_2)^2+(-2\dot\theta_1sin\theta_1-\dot\theta_2sin\theta_2)^2]+\frac{1}{2}mr^2\dot\theta_1^2$$
A mi entender,
Con 1º aproximación de orden $^{\dagger}$ obtenemos:
$$\frac{1}{2}mr^2(2\dot \theta_1 \dot \theta_2)^2+\frac{1}{2}mr^2\dot\theta_1^2$$
La energía potencial es:
$$mgr(3cos\theta_1 + cos\theta_2)$$
con 2ª aproximación de orden:
$$mgr(4 \frac{3}{2}_1^2 \frac{1}{2}_2^2) $$
Así se obtienen los MOE: $$5\ddot\theta_1 2\ddot\theta_2 = \frac{3g}{r}\theta_1$$ $$-2\ddot\theta_1 + 1\ddot\theta_2 = \frac{g}{r}\theta_1$$
Con las condiciones iniciales $\theta_1=0$ y $\theta_2=\varepsilon$
$$\ddot _1=\frac{2g\varepsilon}{r}$$ $$\ddot _2=\frac{5g\varepsilon}{r}$$
Utilicé un enfoque diferente de aproximación -- utilicé la aproximación de ángulo pequeño justo al principio, y asumiendo en el mismo instante que el stick superior simplemente se comportaba como una masa $m$ encima de un palo largo con longitud $3r$ -- luego obtuvo una respuesta en la misma forma matemática, pero con una diferencia de un orden de magnitud, ( $\ddot \theta_1 = g\varepsilon/3r$ ).
Ahora, estoy profundamente confundido en dos sentidos: uno técnicamente, otro metódicamente.
- Técnicamente, ¿podemos hacer diferentes órdenes-aproximaciones en una sola ecuación?
- Metódicamente, ¿cómo sé cuál es una aproximación mejor? (En otras palabras, ¿cómo hacer una mejor aproximación?)
$\dagger$ Explicó:
Podemos simplificarlo utilizando las aproximaciones de ángulo pequeño. Los términos que implican sen son de cuarto orden en los 's pequeños, por lo que podemos despreciarlos. Además, podemos aproximar cos por 1, ya que esto implica eliminar sólo los términos de al menos cuarto orden. Así que la energía cinética de la masa superior se convierte en $\frac{1}{2}mr^2(2\dot\theta_1 \dot\theta_2)^2$
