¿Cómo construir puntos hiperbólicamente equidistantes sobre una recta?

Question

En "Fuentes de la geometría hiperbólica" de Stillwells página 66 figura 3.3 muestra una construcción (¿incompleta?) de puntos hiperbólicamente equidistantes sobre una recta.

He intentado reconstruir la figura pero no lo he conseguido ¿alguien puede decirme cómo está construida esta figura?

U otra forma de construir puntos hiperbólicamente equidistantes sobre una recta.

Answer 1

Estoy mirando la fuente original: Felix Klein " Conferencias sobre geometría no euclidiana ", página 172. La idea general es que la relación cruzada $\operatorname{CR}(P_1,P_2;A,B)$ debe ser igual a la relación cruzada $\operatorname{CR}(P_2,P_3;A,B)$ ya que la longitud puede calcularse a partir de esa relación cruzada. Ahora siguiendo la descripción de Kleins, la línea $BA'$ se elige arbitrariamente mediante $B$ y el punto $S$ también es arbitraria. Entonces $A',P_1',P_2'$ seguir por proyección con centro $S$ de la línea $AB$ a la línea $A'B$ . Además, $P_2P_1'$ se cruza con $AS$ en un punto $M$ que puede utilizarse como centro de una segunda proyección sobre $AB$ . Como estas proyecciones conservan las relaciones cruzadas, tenemos

$$\operatorname{CR}(P_1,P_2;A,B) \overset S= \operatorname{CR}(P_1',P_2';A',B) \overset M= \operatorname{CR}(P_2,P_3;A,B)$$

Estos pasos pueden repetirse para formar un número arbitrario de puntos equidistantes. Como indican las líneas discontinuas, puedes utilizar los mismos puntos $S$ y $M$ para todos ellos, sólo los puntos de intersección en la línea $A'B$ son diferentes para cada nuevo punto que transformes. En esencia, la proyección sobre $A'B$ vía $S$ y luego hasta $AB$ vía $M$ es un paso unitario de su secuencia.