Cálculo de la descomposición polar

Question

¿Cómo calculo a mano las descomposiciones polares izquierda y derecha de una matriz? Entiendo la definición de la descomposición, pero no cómo se calcula.

Por ejemplo, ¿son diferentes las descomposiciones polares izquierda y derecha de esta matriz y cómo las calculo?

$$\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 1 & 6\\ \end{bmatrix}$$

Answer 1

La descomposición polar está estrechamente relacionada con la descomposición de valores singulares.
El SVD tiene el siguiente aspecto:
$$A=U\mathrm{\Sigma}V^T$$ $$V\ contains\ the\ eigenvectors\ of\ A^TA\ as\ columns$$ $$U\ contains\ the\ eigenvectors\ of\ AA^T\ as\ columns$$ No es necesario calcular ambos $U$ y $V$ ya que pueden derivarse uno del otro: $$(1)\ U=\left[\begin{matrix}|&|\\u_1&u_2\\|&|\\\end{matrix}\right]\ with\ u_i=\frac{Av_i}{\sigma_i}$$

$$(2)\ V=\left[\begin{matrix}|&|\\v_1&v_2\\|&|\\\end{matrix}\right]\ with\ v_i=\frac{A^Tu_i}{\sigma_i}$$

La descomposición polar es la siguiente:

$$(3)\ A=\ \left(U\mathrm{\Sigma}U^{T}\right)\ \left(UV^T\right)=S_A\ R_\theta$$ $$(4)\ A=U\mathrm{\Sigma}V^T=\left(UV^T\right)\left(V\mathrm{\Sigma}V^T\right)={R_\theta} S_{AT}$$

Así que para calcular la descomposición polar

1. Calcular los valores propios $\lambda_i$ y los vectores propios $v_i$ de $A^TA$
2. La matriz $\Sigma$ contiene $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$ en su diagonal
3. Derivar vectores propios $u_i$ de $AA^T$ utilizando (1)
4. Ahora calcula $UV^T$
5. si no me equivoco $\left(V\mathrm{\Sigma}V^{T}\right)=A^TA$ por lo que (3) puede completarse

6. Ahora tienes que calcular $AA^T$ o $\left(U\mathrm{\Sigma}U^{T}\right)$ para completar (4)

   Encontrará un análisis geométrico de la descomposición polar en La cena de Heaviside .
   En el sitio web de geogebra encontrará un gráfico interactivo: descomposición polar .

Answer 2

Se ha presentado un método de fuerza bruta (numérico) para obtener la descomposición polar derecha en esta respuesta en MSE . Cuando se aplica al problema del PO ( Test4 ) obtenemos un resultado como: $$\begin{bmatrix} 2.000000 & -3.000000 \\ 1.000000 & 6.000000 \end{bmatrix} = \\ \begin{bmatrix} 0.894427 & -0.447214 \\ 0.447214 & 0.894427 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2.236068 & 0.000000 \\ 0.000000 & 6.708204 \end{bmatrix}$$ Sin embargo, al buscar el número $0.447214$ en Internet, encontramos que es aproximadamente igual a ¿Cuánto es 1 sobre la raíz cuadrada de 5? . Así que vamos a hacer una conjetura: $$\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{5} & -1/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 3\sqrt{5} \end{bmatrix}$$ Se observa que la pregunta anterior es similar a otro .

EDITAR. Pero lo anterior es, por supuesto, exagerado.
Aquí viene una solución mucho más sencilla. En primer lugar formar la transposición veces la matriz original: $$\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 6 \end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 45 \end{bmatrix}$$ A continuación, realice la siguiente Ansatz: $$\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & c^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 45 \end{bmatrix}$$ Por tanto, la raíz cuadrada de una matriz diagonal es extremadamente sencilla; basta con tomar las raíces cuadradas de los elementos diagonales: $$\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 3\sqrt{5} \end{bmatrix}$$ Por último, se halla la matriz ortogonal con: $$\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 3\sqrt{5} \end{bmatrix}^{-1} = \\ \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 1/(3\sqrt{5}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{5} & -1/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \end{bmatrix}$$ La misma conclusión: $$\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{5} & -1/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 3\sqrt{5} \end{bmatrix}$$