En esta pregunta se afirmaba que si un módulo $M$ sobre un dominio noetheriano $R$ satisface $\rm{Ext}^i(M,R)=0$ para $i=1,2$ entonces $M$ es reflexivo. ¿Es esto cierto? ¿Alguien conoce una referencia o una prueba de ello? Si no es correcto, ¿existe otro criterio para ser reflexivo a través de algún $\rm Ext$ -¿Grupos que desaparecen?
Respuestas
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Edita. Hailong Dao señala un grave error en lo que escribí originalmente. He editado la declaración a continuación. Lamentablemente, la condición corregida sobre los módulos Ext es ahora bastante complicada: una condición de dimensión sobre el soporte de cada módulo Ext, no sólo la desaparición de los dos últimos módulos Ext.
Sólo escribo mis comentarios como respuesta. Edita. Para un dominio integral noetheriano normal $A$ y para una torsión libre, finitamente generada $A$ -módulo $N$ , $N$ es reflexivo si y sólo si, para cada ideal primo $\mathfrak{p}\subset A$ de altura $\geq 2$ para el anillo noetheriano local $R=A_{\mathfrak{p}}, \mathfrak{m}= \mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ y para el módulo localizado $M=N\otimes_A A_{\mathfrak{p}}$ la profundidad de $M$ es $\geq 2$ como $R$ -módulo. Para un anillo noetheriano local $(R,\mathfrak{m})$ de dimensión $\geq 2$ ( Edita: que sea normal), para una $R$ -módulo $M$ ( Edita: que no tenga torsión), $M$ es "reflexivo" en el sentido habitual si y sólo si la profundidad de $M$ es $\geq 2$ . Además, la profundidad es $\geq 2$ si y sólo si los grupos locales de cohomología $H_{\mathfrak{m}}^i(M)$ son cero para $i=0,1$ . Una referencia es la parte de ejercicios de la Sección II.3, pp. 216-218, de "Algebraic Geometry" de Hartshorne. Si $(R,\mathfrak{m})$ es un anillo local regular de dimensión $d$ entonces esos grupos de cohomología local son duales (en el sentido de la teoría de la dualidad local) a los grupos Ext $\text{Ext}^{d-i}_R(M,R).$ Este es el Corolario V.6.8, p. 276, y los comentarios al final de la sección, p. 281, de "Residuos y dualidad" de Hartshorne, cf. también 6.3 de "Cohomología local". Así, en el caso normal, $M$ es reflexivo si y sólo si $\text{Ext}^{d-1}_R(M,R)$ y $\text{Ext}^d_R(M,R)$ son cero.
Edit. Corregida Condición Ext Necesaria y Suficiente. Suponiendo que $A$ es un dominio integral noetheriano regular (de modo que también cada localización $R$ es regular por Serre), esto se convierte en una condición en términos de los módulos Ext del módulo original $N$ sobre el anillo original $A$ . Un módulo libre de torsión y finitamente generado $N$ es reflexivo si y sólo si, para cada número entero $e\geq 1$ cada primo mínimo asociado de $\text{Ext}^e_A(N,A)$ tiene altura $\geq e+2$ es decir, el soporte del módulo tiene codimensión $\geq e+2$ . Por ejemplo, cuando $A$ es regular de dimensión $2$ esto equivale a decir que $N$ es proyectiva. Cuando $A$ es regular de dimensión $d \geq 2$ esta condición implica que tanto $\text{Ext}^d_A(N,A)$ y $\text{Ext}^{d-1}_A(N,A)$ son cero, pero la desaparición de estos módulos Ext no es suficiente.
Una vez explicado que la afirmación errónea en ese post anterior parece haber sido sólo un problema de transcripción ( Edita. Hailong Dao señala que es más complicado de lo que pensaba), es sencillo construir ejemplos de módulos $M$ que no son reflexivos donde $\text{Ext}^1_R(M,R)$ y $\text{Ext}^2_R(M,R)$ son cero. Por supuesto, tenemos que elegir $d>2$ . Para $d\geq 4$ el ideal máximo $M=\langle x_1,\dots,x_d \rangle$ en $k[x_1,\dots,x_d]$ tiene desaparición $\text{Ext}^1_R(M,R)$ y $\text{Ext}^2_R(M,R)$ Sin embargo $M$ no es reflexivo.
JimmyJ
Puntos
1443
Sobre la última pregunta, debo señalar que existe efectivamente un criterio Ext-vanishing para la reflexividad. A saber, $M$ es reflexivo si $Ext^{1,2}(Tr(M),R)=0$ donde $Tr(M)$ es la transposición de Auslander-Bridger de $M$ . Para más detalles, véase, por ejemplo, el lema 2.2 del presente documento: https://arxiv.org/pdf/0809.1958v3.pdf
