Cómo pruebo que esta suma no es un entero

Question

Asumir que $k,n\in\mathbb{Z}^+$. Demostrar que la suma\begin{equation*} \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\dfrac{1}{k+3}+\ldots +\dfrac{1}{k+n-1}+\dfrac{1}{k+n} \end{ecuación *} no es un entero.

El caso $k=0$ se demuestra en esta pregunta: "hay una prueba elemental que $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ nunca es un número entero?"

Answer 1

La prueba de que me dio en ese hilo funciona igual de bien aquí. Que depende únicamente del hecho de que en cualquier secuencia contigua de enteros (aquí denominadores) la máxima potencia $\rm 2^k$ que se divide cualquier elemento ocurre precisamente en uno de los elementos. De hecho, después de la primera (necesariamente impar) varios de $\rm 2^k$, el próximo múltiples, por contigüidad, ser un múltiplo, por lo que un múltiplo de $\rm 2^{k+1}$, contra maximality. Aquí se dice que la prueba:

SUGERENCIA $\;$ Ya que no hay un único denominador $\rm 2^k$ tener la máxima potencia de $2$, sobre multiplicando todos los términos por $\rm 2^{k-1}$ se deduce la contradicción que $\rm\; a/2 = b/c \;$ $\rm \; a,\ c \:$ impar. Como un ejemplo:

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad m = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\; \frac{1}{4} \;+\; \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} $

$\quad\quad\Rightarrow\quad\;\; 2m = \; 1 + \frac{2}{3} +\; \frac{1}{2} \;+\; \frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{2}{7} $

$\quad\quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2} = \; 1 + \frac{2}{3} - 2m + \frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{2}{7}$

Antes de la suma de todos los impares denominadores, lo que reduce a una fracción con denominador impar $\rm d\:|3\cdot 5\cdot 7$.

Nota $\:$ I deliberadamente evitar cualquier uso de la teoría de la valoración porque Anton solicitó una "primaria" de la solución. La anterior prueba puede hacerse fácilmente comprensible para un estudiante de secundaria. La prueba es trivial para cualquier persona que sabe de valoración de la teoría: es decir, la suma tiene un único dominante plazo con 2-ádico valor de $\rm v_2<0\:$, por tanto, por el principio de la dominación, la suma tiene 2-ádico valor de $\rm v_2<0\:,\:$ es decir, la suma tiene incluso denominador en términos mínimos, por lo que es no integral.

Answer 2

{Diferencias de armónicos no son los números enteros}

Considere la posibilidad de $\sum_{k=m}^n {1\over k}$. Encontrar el mayor poder de $2^r$ que divide a uno de los denominadores entre el$m$$n$. No puede ser múltiplos de $2^r$$m$$n$, de ahí la es sólo una extraña múltiples.

Por lo tanto, $2^{r-1}(1/m+\cdots+1/n)$ es igual a$1/2o_1$, además de un montón de las fracciones con denominador impar. La adición de ellos da una fracción con una extraña denominador, escribe como $x/o_2$. Aquí $o_1$ $o_2$ son enteros impares.

Tenemos $2^{r-1}(1/m+\cdots+1/n)=1/2o_1+x/o_2$, de modo que $${1\over m}+\cdots+{1\over n}={2xo_1+o_2\over 2^r o_1 o_2}.$$ Por lo tanto, $2^r$ divide el denominador. Si $n\not=m$, $r\geq1$ y la suma no es un número entero.

Cf. Ejercicio 6.21 (página 311) de Graham, Knuth, y Patashnik.