Evaluación efectiva del tensor de Ricci

Question

Si se da una métrica de la forma $$ds^2=\alpha^2(dr^2+r^2d\theta^2)$$ donde $\alpha=\alpha(r)$ se puede concluir inmediatamente que $$R_{\theta\theta}=r^2R_{rr}$$ donde $R_{ab}$ es el Tensor de Ricci ¿sin hacer ningún cálculo explícito? Puedo demostrar que esto es cierto de la manera tortuosa de calcular ambos explícitamente, pero parece que puede haber una manera más elegante?

Answer 1

No estoy seguro de lo que pide exactamente OP, pero la ecuación de OP se deduce, por ejemplo, de la general hecho que para una superficie 2D arbitraria, el tensor de Ricci

$$R_{\mu\nu} ~\propto~g_{\mu\nu}$$

es siempre proporcional al tensor métrico $g_{\mu\nu}$ . Esto es básicamente una consecuencia de que en 2D el Tensor de curvatura de Riemann está completamente determinada por la curvatura escalar.