Entre los números 1, 2, . . . , $10^{10}$ ¿hay más de los que contienen el dígito 9 en su notación decimal, o de los que no tienen 9?
Por favor, dame alguna pista de cómo probar esto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La cantidad de números que no contienen la cifra $9$ es:
$\left(\sum\limits_{n=1}^{10}8\cdot9^{n-1}\right)+1=$
$8\cdot\left(\sum\limits_{n=1}^{10}9^{n-1}\right)+1=$
$8\cdot\left(\sum\limits_{n=0}^{9}9^{n}\right)+1=$
$8\cdot\left(\frac{9^{10}-1}{9-1}\right)+1=$
$3486784401$
La cantidad de números que contienen la cifra $9$ es por lo tanto:
$10^{10}-3486784401=6513215599$
En $6513215599>3486784401$ hay más números que contienen la cifra $9$ que no.
marty cohen
Puntos
33863
Dado que la suma de los recíprocos de los enteros que carecen del dígito 9 converge, hay muchos más números enteros con 9 que sin él.
Lo mismo para cualquier base y cualquier dígito.
De otra manera.
Existen $10^n$ números de n cifras, y hay $9^n$ números de n cifras sin el dígito 9.
La relación es $(9/10)^n$ .
Si $n=10$ , esto es $(9/10)^{10} =(1-1/10)^{10} \approx 1/e $ desde $(1-1/n)^n \approx 1/e$ .
Por lo tanto, sobre $1-1/e \approx 0.63$ de estos números tienen un 9 y $1/e \approx 0.37$ no tienen un 9.
Por lo tanto más tienen un 9.
