Demostrar por inducción matemática que $a^n$ es un número irracional.

Question

Sea $a$ sea un número irracional donde $a^2$ es un número racional. Demostrar por inducción matemática o inducción matemática generalizada que $a^n$ es un número irracional para todos los enteros Impares $n 1$ .

Así que sé que un (racional) * (irracional) -> (irracional) pero no estoy seguro de cómo ir sobre esto con la inducción.

Answer 1

Tan sucintamente como puedo decirlo...

Base: $a^1 = a$ es irracional.

Inducción: Supongamos que $a^m$ , $m$ impar, es irracional. Entonces $a^{m+2} = a^m \cdot a^2$ es un número irracional multiplicado por un número racional, y por tanto irracional.

Answer 2

Si $n$ es impar, entonces $n+2$ es impar y por tanto $a^{n+2}=a^n a^2$ es irracional, siendo el producto de un irracional y un racional.

Si desea realizar la inducción en pasos de $1$ en lugar de $2$ escribe $n=2k+1$ y utilizar la inducción en $k$ .

Answer 3

Si $n$ es impar, entonces $$ a^n = \underbrace{a \cdots\cdots a}_{ \large \text{$ n $ factors}} = \underbrace{(aa)(aa)(aa) \cdots (aa) a}_{\begin{smallmatrix} \large \text{One left over when} \\[4pt] \large \text{they're paired; that's} \\[4pt] \large \text{what “odd'' means.} \end{smallmatrix}}. $$ Cada $aa$ es $a^2$ que usted dijo que es racional. Así que estás multiplicando un montón de números racionales, obteniendo un número racional, y el que sobra $a$ es irracional.

Para hacer de esto una prueba por inducción matemática, puedes decir $$ a^\text{next odd number after $ n $} = a^{n+2} = a^2 a^n $$ y $a^2$ es racional y la hipótesis de inducción dice $a^n$ es irracional, así que estás multiplicando un número racional por un número irracional.