Función continua en un conjunto delimitado cerrado en $\mathbb{R}^n$ entonces esa función es acotada y uniformemente continua

Question

Teorema : Sea $A$ sea un conjunto cerrado y acotado en $\mathbb{R}^n$ y que $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ sea continua, entonces $f$ está acotada y es uniformemente continua en $A$ .

He estado intentando demostrar este teorema, mi idea es demostrarlo para $n=1$ primero, y luego generar para $n>1$ , $n \in \mathbb{N}$ . ¿Puede alguien darme otra demostración de este teorema? No estoy seguro con mi prueba. Gracias.

Answer 1

Pistas:

1) $A$ es cerrado acotado en $\mathbb R$ si $A$ es compacto

2) $f(A)$ es compacto. ¿Por qué? Tenga en cuenta que $A$ es compacto y $f$ es continua

3) Teorema de Heine-Cantor utilizado

Answer 2

Como señala genepeer, su tarea consiste esencialmente en demostrar el teorema de Heine-Cantor para subconjuntos compactos de $\mathbb{R}^n$ . He aquí una idea de cómo hacerlo utilizando una topología básica de conjuntos de puntos.

• El teorema de Heine-Borel es una herramienta esencial para tratar subconjuntos cerrados y acotados de $\mathbb{R}^n$ . ¿Qué dice sobre $A$ ?

• ¿Qué sabes sobre la imagen de un conjunto compacto bajo un mapa continuo? Aplica de nuevo Heine-Borel.

• Para ver que $f$ es uniformemente continua en $A$ en la definición de continuidad necesitamos $\delta$ para no depender del punto $x\in A$ . Elige $\varepsilon > 0$ y utilizar la continuidad para encontrar un $\delta$ para cada $x\in A$ . Portada $A$ por $B(x,\delta(x))$ . Ahora usa la compacidad. ¿Puedes encontrar un $\delta$ que debe funcionar para cada punto de $A$ ?