$|f(x)-f(y)|\le(x-y)^2$ sin gaplessness

Question

Si $|f(x)-f(y)|\le(x-y)^2$ todos los $x,y\in\mathbb R$, entonces es fácil mostrar que $f'=0$ en todas partes, y el valor medio teorema implica que eso significa $f$ es constante. Si hubo una brecha en la línea real y $f=3$ sobre un lado de la brecha y $f=4$ en el otro lado de la brecha, a continuación, $f'=0$ todas partes, pero $f$ no es constante. Gaplessness entra a través del valor medio teorema.

Pero me pregunto si la proposición se mantiene incluso en una línea con lagunas. Por ejemplo, si $f:\mathbb Q\to\mathbb Q$, y para todos los $x,y\in\mathbb Q$ esta desigualdad se cumple, hace que implican $f$ es constante? ¿Y qué acerca de otro hueco lleno de líneas de $\mathbb Q$? Como $\mathbb R\setminus A$ donde $A$ es un conjunto finito, o una contables conjunto, o un conjunto cuyo complemento es denso, o cualquier conjunto que podría ser de interés para esta pregunta?

Answer 1

Sólo se necesita el conjunto donde $f$ se define a ser densa. El teorema es verdadero en la métrica de los espacios, y en que la generalidad, la densidad es más que suficiente, todo lo que realmente necesita es la capacidad de moverse de un punto a otro en forma arbitraria pasos cortos.

El salto de $x$ $y$ $n$pasos cortos de tamaño $O(1/n)$ límites de $|f(x)-f(y)|$$n O(1/n^2)$, que va de cero para un gran $n$.

Para el caso general en un espacio métrico, definir los componentes conectados para "saltando" por $x \sim y$ si para cada a $e > 0$ hay un número finito de la cadena de puntos de partida en $x$ y terminando en $y$, con puntos consecutivos todos a la distancia $ < e$ (y un obligado, independiente de $e$, sobre el total de la longitud de los saltos consecutivos). Entonces

• una función satisying la desigualdad es una constante en salto de componentes

• cualquier salto de dos componentes están en positivo finito de distancia el uno del otro ("gap"), si el espacio métrico compacto

• la función puede tener diferentes valores para los diferentes componentes.

La cantidad exacta de libertad para definir $f$ de manera diferente en los componentes es una interesante y potencialmente pregunta más difícil cuando hay infinitamente muchos de los componentes o, en el noncompact caso, los pares de componentes que vienen arbitrariamente cerca el uno del otro.

La única propiedad de la cota superior de a $(x-y)^2$ que se utiliza aquí es que se desvanece a un orden mayor que $1$ pequeña $|x-y|$.

Answer 2

Sea $x = x_0 < x_1 < \dots < x_n = y$ una familia de secuencias que $|x_i - x_{i+1}| \rightarrow 0$ usar desigualdad de triángulo y se puede hacer arbitrariamente pequeña $|f(x) - f(y)|$.