Aproximación del gradiente de una función mediante $L^2$ funciones (cortes)

Question

Sea $u:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ sea tal que $u' \in L^2(0,\infty)$ pero $u \notin L^2(0,\infty)$ . Sin embargo $u \in L^2(0,T)$ para todo finito $T$ .

¿Es posible encontrar una secuencia de funciones $u_n \in L^2(0,\infty)$ con $u_n' \to u'$ en $L^2(0,\infty)$ ?

Estoy pensando en multiplicar $u$ con una función de corte suave, por lo que $u_n = u\psi_n$ pero no veo ninguna propiedad de los cortes $\psi_n$ . ¿Puede alguien darme alguna ayuda o referencia? Gracias.

Answer 1

Vas por buen camino, pero utilizando la función de corte en $u$ en sí mismo te llevará a tener problemas con el derivado. En su lugar, utilícela en $u'$ y tomar la integral.

Sea $\varphi_n\in C^\infty_c(0,\infty)$ sea tal que $\varphi=0$ en $(0,\frac1n)\cup(2n,\infty)$ , $\varphi=1$ en $(\frac2n,n)$ y $0\le\varphi\le1$ de lo contrario. Para $x\in(0,\infty)$ defina $$u_n(x):=\int_{2n}^xu'\varphi_n\ \mathrm{d}t=\int_0^xu'\varphi_n\ \mathrm{d}t-\int_0^{2n}u'\varphi_n\ \mathrm{d}t$$ Observe que $|u_n|\le2\left(\int_0^{2n}|u'|\right)\mathbf1_{(0,2n)}$ y así $$\|u_n\|_2\le4n\int_0^{2n}|u'|\le4n\|u'\|_2(2n)^{1/2}<\infty$$ donde el último paso proviene de la desigualdad de Holder. Por lo tanto $u_n\in L^2(0,\infty)$ . Además, si $\phi\in C^\infty_c(0,\infty)$ luego dejar que $c_n=\int_0^{2n}u'\varphi_n$ tenemos \begin{align*} \int u_n\phi'&=\int_0^\infty\int_0^xu'(t)\varphi_n(t)\phi'(x)\ \mathrm{d}t\mathrm{d}x-c_n\int_0^\infty\phi'(x)\ \mathrm{d}x\\ &=\int_0^\infty\int_t^\infty u'(t)\varphi_n(t)\phi'(x)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}t\\ &=-\int_0^\infty u'(t)\varphi_n(t)\phi(t)\ \mathrm{d}t \end{align*} y así $u_n$ es débilmente diferenciable con $u_n'=u'\varphi_n$ . El teorema de convergencia dominada implica $u'\varphi_n\to u'$ en $L^2$ así que hemos terminado.