Tengo el siguiente problema : Sea $f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb R$ sea una función arbitraria que satisfaga la hipótesis, $\lim_{x \rightarrow 0} x(f(x)-1)=0$ . Demuestre que $\lim_{x \rightarrow 0 } f(x)$ existe.
El problema tiene también otras partes y otras 2 hipótesis sobre $f$ . Pero la solución empieza así: por la hipótesis uno se deduce $\lim_{x \rightarrow 0} xf(x)=1$ ... Así que no utiliza las otras dos hipótesis ( ¿por qué iba a afirmar explícitamente que el resultado se deduce de la hip. uno si también se utilizan las otras?).
Pero que $ \ \sin(\frac{1}{x}):=f(x) \ $ sería un ejemplo más contertulio.
¿Alguien puede decir si mi contraejemplo es correcto? no puedo ver el error. Y estoy bastante seguro de que no utiliza las otras hipótesis ya que no las enuncia en el problema.
aquí están las otras dos condiciones $f$ (que no utilicé en el contraejemplo por las razones explicadas anteriormente)
dos : $f(1)=2$
tres: $(x+2)f(x+2)-2(x+1)f(x+1)+xf(x)=0$
