Límite de $a(n+1)-a(n)$ donde $a(n)=n^{n^{-1/n}}$

Question

Considere la secuencia $$a(n)=n^{n^{-1/n}}$$ Los valores de $a(n)$ para $n$ de $1$ a $12$ con tres decimales, son: $$1.000\ \ 1.632\ \ 2.141\ \ 2.665\ \ 3.210\ \ 3.777\ \ 4.365\ \ 4.970\ \ 5.591\ \ 6.227\ \ 6.877\ \ 7.539$$ Pero lo realmente interesante es la secuencia $$ b(n)=a(n+1)-a(n) = (n+1)^{(n+1)^{-1/(n+1)}} -n^{n^{-1/n}} $$ cuyos valores para $n$ de $1$ a $11$ son: $$0.632\ \ 0.509\ \ 0.524\ \ 0.545\ \ 0.567\ \ 0.588\ \ 0.605\ \ 0.621\ \ 0.636\ \ 0.650\ \ 0.662$$ Así, tras $n=2$ , $b(n)$ empieza a crecer de forma estrictamente monotónica, pero no sé si este comportamiento se mantiene en todas partes después de que $n=11$ ? Además, resulta sorprendente que $b(n)$ aunque se define de forma muy sencilla y se genera a partir de una secuencia relativamente simple $a(n)$ , muestra un crecimiento tan regular.

Sí, esperaba ver un comportamiento interesante, pero estaría muy bien que $b(n)$ tenía otro límite $0$ o $+ \infty$ ¿Si es que converge? A primera vista pensé que $b(n)\to0$ pero los datos experimentales sugieren algo diferente.

Entonces, ¿es la secuencia $(b(n))$ convergente y, si lo es, ¿cuál es su límite?

También son muy bienvenidos más datos experimentales, con o sin pruebas.

Answer 1

Se requieren resultados básicos:

• $e^x=1+x+O(x^2)$ cuando $x\to0$
• $(\log n)^4\ll n$ cuando $n\to\infty$

Tenga en cuenta que $a(n)=n^{n^{-1/n}}$ es $a(n)=ne^{-c(n)\log n}$ con $c(n)=1-n^{-1/n}=1-e^{-d(n)}$ con $d(n)=\frac1n\log n$ y, en particular $d(n)=o(1)$ .

Por lo tanto, $c(n)=d(n)+O(d(n)^2)$ y $a(n)=n\left(1-c(n)\log n+O(c(n)^2\log ^2 n)\right)$ así $$a(n)=n-nd(n)\log n+O(nc(n)^2\log ^2 n)=n-\log^2 n+o(1)$$ donde el término de error es $o(1)$ porque $$nc(n)^2\log ^2 n\sim\tfrac1n(\log n)^4\to0$$ de ahí $$a(n+1)-a(n)=1+\log^2(n+1)-\log^2n+o(1)=1+o(1)$$ es decir, $$\lim_{n\to\infty}\left(a(n+1)-a(n)\right)=1$$ El resultado intermedio anterior, más preciso que la conclusión deseada, es que

$$\lim_{n\to\infty}\left(a(n)-n+\log^2 n\right)=0$$

Answer 2

Centrémonos primero en el exponente:

$n^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{n^{\sqrt[n]{n}}}$

Es trivial que el denominador $n^{\sqrt[n]{n}}$ tiende a 1, lo que hace que el exponente tienda a 1.

Dicho esto podemos ver $a(n) \approx n$ que no es convergente, y el límite es $\infty$

Teniendo en cuenta que la serie $b(n) \approx 1$ siendo su límite igual a 1.