Una pregunta sobre la existencia del campo vectorial de Lie

Question

Sea $v \in T_p \mathbb{R}^n$ . Supongamos que $A : T_p \mathbb{R}^n \to T_p \mathbb{R}^n$ es un endomorfismo antisimétrico. Entonces, ¿es cierto que existe un campo vectorial de Killing $V \in \chi(\mathbb{R}^n)$ tal que $V|_p = v$ y $\nabla V|p = A$ ?

Debería deducirse del hecho de que las matrices simétricas oblicuas son el álgebra de Lie de las rotaciones, ¿no?

(Sé que probablemente sea una pregunta trivial, pero nunca he estudiado teoría de grupos de Lie..)

Answer 1

Desde $A$ es anti simétrico por lo que existe un camino $c(t)=\exp\ tA\in O(n)$ .

Claramente, $c(t)$ es una familia de isometrías en $\mathbb{R}^n$ de modo que tenemos un campo de Killing $$ X(x)=\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0}\ c(t)\cdot x $$ Sustituyendo el origen, podemos suponer que $X(x)=v$ .

Aquí $$ w(X)=\frac{d}{ds}\ X(x+sw) = \frac{d}{ds}\frac{d}{dt}\ c(t)\cdot (x+sw) = Aw $$