¿Cuál es el valor de la suma de la serie
$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2+3}+\frac{1}{4+5+6}+\dotso\;?$$
Y esto:
$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{4\cdot5\cdot6}+\dotso\;?$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Nota:$a+(a+1)+\cdots+(b-1)+b= (b-a+1)(b+a)/2$. Set $b=n(n+1)/2,a=n(n-1)/2+1$: $$(\circ)=\sum_{n=1}^\infty \left((n(n+1)/2-[n(n-1)/2+1]+1)\cdot\frac{n(n+1)/2+[n(n-1)/2+1]}{2}\right)^{-1}$$ $$=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{n(n^2+1)}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+i}-\frac{1}{n-i}\right)=\sum_{n=1}^\infty\int_0^12x^{n-1}-x^{n+i-1}-x^{n-i-1}dx$$ $$=\int_0^1\left(\sum_{n=1}^\infty x^{n-1}\right)(2-x^i-x^{-i})dx=\int_0^1\frac{1-x^i}{1-x}dx+\int_0^1\frac{1-x^{-i}}{1-x}dx$$ $$=\psi(1+i)+\psi(1-i)+2\gamma.$$ (Donde $\psi$ es la función digamma.) Esa es la primera de la serie. Segundo, no parece tan fácil.
Lissome
Puntos
31
Hay una fórmula sencilla para $\sum_{i=k}^n i = \frac{n(n+1)}{2}-\frac{(k-1)k}{2}$.
Ahora, el m-ésimo denominador ha $m$ términos, lo que significa que hay $1+2+..+(m-1)=\frac{(m-1)m}{2}$ términos antes de la primera de el denominador.
Por lo tanto, su n-esima plazo es
$$\frac{1}{\sum_{i=\frac{(n-1)n}{2}+1}^{\frac{(n-1)n}{2}+n} i}$$
El uso de la fórmula en el principio de la prueba, y usted probablemente va a terminar con un estándar de suma telescópica....
Editar Véase Andre comentario más abajo, esto no es telescópica, por lo que leer los anteriores comentarios como "¿cómo reducir esta serie a una simplificación de la forma "cerrada" de la serie".. La fórmula exacta a continuación se calcula por Andre.
