¿Dónde van los acoplamientos de Goldstone en el gálibo unitario?

Question

Imagina que tienes algún modelo con un potencial escalar ampliado, tal que existe, por ejemplo, un acoplamiento cuártico $\kappa$ entre la componente cargada del Higgs y otros tres escalares, que no obtienen un vev.

Tras la ruptura de la simetría electrodébil en el gauge Feynman-t' Hooft ( $\xi=1$ ), deberíamos tener entonces un acoplamiento cuártico similar $\kappa$ entre los tres escalares y el bosón de Goldstone asociado a $W$ con masa $m_W$ .

Sin embargo, en la galga unitaria ( $\xi \rightarrow \infty$ ), el bosón de Goldstone es "devorado" por el $W$ y el acoplamiento $\kappa$ desaparece, ya que la masa de la Goldstone es infinita en este gauge.

Así que mi pregunta es, ¿dónde está la información del acoplamiento $\kappa$ ir en el gálibo unitario? ¿Está oculto de algún modo en la estructura de los momentos que aparece en el $W$ en la galga unitaria?

Para mayor claridad, pongo un ejemplo: Considere la posibilidad de añadir un $SU(2)_L$ doblete con hipercarga $3/2$ , $\eta \equiv (\eta^{++},\eta^+)$ . Junto con un $SU(2)_L$ singlete con hipercarga $-1$ , $S \equiv S^-$ .

Para este contenido de partículas el potencial escalar completo es, \begin{eqnarray} \mathcal{V} = \mathcal{V}_{SM} &+& m_{\eta} \eta^\dagger \eta + m_S S^* S \\ &+& ( \, \mu_2 \, \eta^\dagger H S + \kappa \, H \eta S S + \text{h.c.} \, ) \\ &+& \lambda_{\eta} \, (\eta^\dagger\eta)^2 + \lambda_{\eta S} \,(S^* S)^2 \\ &+& \lambda_{H\eta,1} \, (H^\dagger H)(\eta^\dagger\eta) + \lambda_{H\eta,3} \, (H^\dagger\eta^\dagger)(H\eta) + \lambda_{HS} \, (H^\dagger H)(S^* S) + \lambda_{\eta S} \, (\eta^\dagger\eta)(S^* S) \, . \end{eqnarray}

En cuanto al couling $\kappa \, H \eta S S$ ,

\begin{equation} H \eta S S \supset H^+ \eta^+ S^- S^- \, , \end{equation} que es el acoplamiento del que hablo en el texto principal de la pregunta.

Answer 1

Después de un examen forense de su potencial incoherente y de cuadrar su $\mu_2$ frente a $\kappa$ términos, he llegado a la conclusión de que quería decir para escribir algo como $$ \kappa {\tilde H}^\dagger \eta SS + \hbox{h.c.}, $$ donde $$ H= \begin{pmatrix} H^+ \\ H^0 \end{pmatrix} \qquad \implies {\tilde H}= \begin{pmatrix} H^{0 ~*} \\ -H^- \end{pmatrix} , $$ basado en el representación conjugada es decir, en su notación no estándar de hipercarga a media escala, $$ Y(\eta)=3/2 , Y(S)=-1,Y(H)=1/2,\implies Y(\tilde H)=-1/2, \implies Y({\tilde H}^\dagger) =1/2. $$ De esta forma, tu cuártico puede conservar isospín débil, hipercarga débil y, por tanto, carga.

En lenguaje de componentes, esto equivale a algo como $$ \kappa S^- S^- \begin{pmatrix} H^{0} \\ -H^+ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \eta^{++} \\ \eta^+ \end{pmatrix} , $$ donde he sido arrogante con los factores y los signos. Pero debe reconocer este acoplamiento como el exacto análogo en teoría de grupos del término de Yukawa para los quarks de tipo up (y, actualmente, los neutrinos de Dirac).

Ahora el paso crucial es apreciar que, en la representación "polar", al igual que los goldstones pueden reunirse exclusivamente en $$ H= \exp (i\vec \xi\cdot \vec \tau /2v)~~ \begin{pmatrix} 0 \\ v+h \end{pmatrix} , $$ una matriz exponencial similar U realiza la misma función en la representación conjugada, $$ \tilde H ^\dagger U^\dagger = \begin{pmatrix} v+h \\ 0 \end{pmatrix}, $$ pero no te lo resolveré en la representación conjugada: debería ser algo como $\tau^2 \exp (i\vec \xi\cdot \vec \tau /2v) \tau^2$ .

Lo que usted debe apreciar es que, ahora, en el calibre unitario,

• los estados reales de los η doblete son los $U\eta$ es decir, los estados físicos $\eta^+, \eta^{++}$ ya contienen los goldstones absorbidos $\vec \xi$ en su definición.

Es decir, aunque ahora el $\eta^+$ desaparece de los acoplamientos cuárticos, su hermano doblete sobrevive con una venganza, $$ \kappa (v+h) \eta^{++}S^-S^-, $$ que contiene toda la información relevante de κ.

La unitaridad trabaja de forma misteriosa, sin escatimar nunca información.